Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．

（1）求证：CE＝EF；

（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（3）求△BEF面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）50

【解析】

（1）作辅助线，构建三角形全等，证明△AEM≌△EFN和△ADE≌△CDE（SAS），可得AE=CE=EF；
（2）分两种情况：根据三角形的面积公式可得y与x之间关系的函数表达式，根据勾股定理计算BD的长可得x的取值；
（3）根据（2）中的两种情况，分别利用配方法和二次函数的增减性可得结论．

（1）证明：过E作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，AB⊥AD，

∴MN⊥AD，MN⊥BC，

∴∠AME＝∠FNE＝90°＝∠NFE+∠FEN，

∵AE⊥EF，

∴∠AEF＝∠AEM+∠FEN＝90°，

∴∠AEM＝∠NFE，

∵∠DBC＝45°，∠BNE＝90°，

∴BN＝EN＝AM，

∴△AEM≌△EFN（AAS），

∴AE＝EF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，

∵DE＝DE，

∴△ADE≌△CDE（SAS），

∴AE＝CE＝EF；

（2）解：在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝，

∴0≤x≤5，

由题意得：BE＝2x，

∴BN＝EN＝x，

由（1）知：△AEM≌△EFN，

则AE=EF=EC，
分两种情况：

当0≤x≤ 时，如图1，

∵AB=MN=10，

∴ME＝FN＝10﹣x，

∴BF＝FN﹣BN＝10﹣x﹣x＝10﹣2x，

∴y＝＝﹣2x2+5x（0≤x≤）；

当时，如图2，过E作EN⊥BC于N，

∴EN=BN=x，
∴FN=CN=10-x，
∴BF=BC-2CN=10-2（10-x）=x-10，

∴y＝＝2x2-5x（）；

综上，y与x之间关系的函数表达式为

（3）①当0≤x≤ 时，如图1，

∴y＝﹣2x2+5x＝﹣2（x﹣）2+，

∵﹣2＜0，

∴当x＝时，y有最大值是；

当时，如图2，

∴y＝﹣2x2+5x＝2（x﹣）2-，

∵2>0，

∴当x＝时，y有最大值是50；

即△BEF面积的最大值是50．