Question

20．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，点M为圆心，A点坐标为（-2，0），B点坐标为（4，0），D点的坐标为（0，-4）．
（1）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；
（2）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式吗？能，请写出过程，不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）易得点A、B的坐标，用交点式设出二次函数解析式，把D坐标代入即可．自变量的取值范围是点A、B之间的数．
（2）先设出切线与x轴交于点E．利用直角三角形相应的三角函数求得EM的长，进而求得点E坐标，把C、E坐标代入一次函数解析式即可求得所求的解析式．
（3）设出所求函数解析式，让它与二次函数组成方程组，消除y，让跟的判别式为0，即可求得一次函数的比例系数k．

解答 解：（1）如图，设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM，
∴CM⊥CE，
又∵A点坐标为（-2，0），B点坐标为（4，0），AB为半圆的直径，点M为圆心，
∴M点的坐标为（1，0），
∴AO=2，BO=4，OM=1．又因为CO⊥x轴，所以CO2=AO•OB，解得：CO=2$\sqrt{2}$，
又∵CM⊥CE，CO⊥x轴，
∴CO²=EO•OM，
解之得：EO=8，
∴E点的坐标是（-8，0），
∴切线CE的解析式为：y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x+2$\sqrt{2}$；

（2）根据题意可得：A（-2，0），B（4，0）；则设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4）（a≠0），
又∵点D（0，-4）在抛物线上，
∴a=$\frac{1}{2}$；
∴y=$\frac{1}{2}$x²-x-4自变量取值范围：-2≤x≤4；

（3）设过点D（0，-4），“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-4（k≠0），
由题意可知方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-4}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-4}\end{array}\right.$只有一组解．
即kx-4=$\frac{1}{2}$x²-x-4有两个相等实根，
∴k=-1，
∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-x-4；

点评 本题以半圆与抛物线合成的封闭图形“蛋圆”为背景，考查一次函数、二次函数有关性质，解题过程中涉及解一元一次方程、一元二次方程、方程组相关知识与技能，是一道综合性很强的试题．