Question

如图1是脚踩式家用垃圾桶，图2是它的内部结构示意图．EF是一根固定的圆管，轴MN两头是可以滑动的圆珠，且始终在圆管内上下滑动．点A是横杆BN转动的支点．当横杆BG踩下时，N移动到N′．已知点B、A、N、G的水平距离如图所示，支点的高度为3cm．
（1）当横杆踩下至B′时，求N上升的高度；
（2）垃圾桶设计要求是：垃圾桶盖必须绕O点旋转75°．试问此时的制作是否符合设计要求？请说明理由．
（3）在制作的过程中，可以移动支点A（无论A点如何移，踩下横杆BG时，B点始终落在B′点），试问：如何移动支点（向左或右移动，移动多少距离）才能符合设计要求？请说明理由．（本小题结果精确到0.01cm）

Answer 1

分析：（1）很显然，△ABB′、△ANN′相似，已知了AB、AN、BB′的长，根据相似三角形所得比例线段即可求得NN′的值．
（2）在Rt△MM′O中，求得了NN′的长，即可得MM′的长，然后根据MO的知，可求得∠MOM′的度数，然后再同75°进行比较即可．
（3）由（2）知：设计的并不合理；若设支点向左平移xcm，那么可参照①的思路先表示出NN′的长，然后联立NN′：MO=tan75°，组成方程组即可得到x的值，从而得解．

解答：解：设支点底点为A′，不计大小，
（1）由题意则∠AB′A′=∠N′AN，∠N′NA=∠AA′B′=90°，
∴在△AA′B′∽△ANN′中，
∴B′A′：AA′=AN：NN′，
∴NN′=8cm
即点N上升8cm．

（2）由点N上升8cm
∴在Rt△M′MO中，M′M=8，
由题意MO=2.5，
∴tan∠M′OM=

8

2.5

=3.2，即∠M′OM≈72.6°＜75°；
故设计不合理．

（3）假设支点A向左平移xcm，
则

6-x

16+x

=

3

NN′

tan75°=

NN′

2.5

，解得：x=0.65；
答：支点A应向左移动0.65cm．
（答案误差控制在±0.01，超过，则算错）

点评：此题主要考查的是解直角三角形的实际应用，同时还涉及到相似三角形的相关知识，难度适中．