有两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG其直角边长均为6(如图1所示)叠放在一起,使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转,旋转角满足0<º
<90º,四边形CHGK是旋转过程中两块三角板的重叠部分(如图2).
(1)在上述旋转过程中,①BH与CK有怎样的数量关系?②四边形CHGK的面积是否发生变化?并证明你发现的结论.
(2)如图,连接KH,在上述旋转过程中,是否存在某一位置使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的?若存在,请求出此时KC的长度;若不存在,请说明理由.
(1) ①BH=CK,②不变;(2)x=2或x=4
【解析】
试题分析:(1)先由ASA证出△CGK≌△BGH,再根据全等三角形的性质得出BH=CK,根据全等得出四边形CKGH的面积等于三角形ACB面积一半;
(2)根据面积公式得出,根据△GKH的面积恰好等于△ABC面积的
,代入得出方程即可求得结果.
(1)BH与CK的数量关系:BH=CK,理由是:
连接OC,由直角三角形斜边上中线性质得出OC=BG,
∵AC=BC,O为AB中点,∠ACB=90°,
∴∠B=∠ACG=45°,CO⊥AB,
∴∠CGB=90°=∠KGH,
∴都减去∠CGH得:∠BGH=∠CGK,
在△CGK和△BGH中,
∠KCG=∠B,CG=BG,∠KGC=∠BGH,
∴△CGK≌△BGH(ASA),
∴CK=BH,即BH=CK;
四边形CHGK的面积的变化情况:四边形CHGK的面积不变,始终等于四边形CQGZ的面积,即等于△ACB面积的一半,等于9;
(2)假设存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的的位置.
设BH=x,由题意及(1)中结论可得,CK=BH=x,CH=CB-BH=6-x,
,
,
∵△GKH的面积恰好等于△ABC面积的,
,
解得x=2或x=4,
∴存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的的位置,此时x的值为2或4.
考点:本题考查了旋转的性质,三角形的面积,全等三角形的性质和判定
点评:解答本题的关键是掌握旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等,旋转前后图形的大小和形状没有改变.
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科目:初中数学 来源:2013届福建仙游高峰初级中学九年级上学期期中考试数学试题(带解析) 题型:解答题
有两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG其直角边长均为6(如图1所示)叠放在一起,使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转,旋转角满足0<º
<90º,四边形CHGK是旋转过程中两块三角板的重叠部分(如图2).
(1)在上述旋转过程中,①BH与CK有怎样的数量关系?②四边形CHGK的面积是否发生变化?并证明你发现的结论.
(2)如图,连接KH,在上述旋转过程中,是否存在某一位置使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的?若存在,请求出此时KC的长度;若不存在,请说明理由.
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