Question

已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．
（1）如图1，若∠DAB=60°，则∠AFG=

 

；如图2，若∠DAB=90°，则∠AFG=

 

；
（2）如图3，若∠DAB=α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明；
（3）如果∠ACB为锐角，AB≠AC，∠BAC≠90°，点M在线段BC上运动，连接AM，以AM为一边以点A为直角顶点，且在AM的右侧作等腰直角△AMN，连接NC；试探究：若NC⊥BC（点C、M重合除外），则∠ACB等于多少度？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）

Answer 1

分析：（1）、（2）结合图3解决一般性问题：根据已知条件易证△ABE≌△ADC（SAS），得BE=CD，从而有BF=DG．连接AG，可证明△BAF≌△DAG，得∠GAF=∠DAB．根据等腰三角形性质及三角形内角和定理，已知∠DAB的度数，可求∠AFG的度数．
（3）依题意画图；延长CN于H，使NH=MC．构造出△ANH与△AMC全等，运用全等三角形性质，结合三角形内角和定理求解．

解答：（1）解：60°；45°…（2分）

（2）∠AFG=90°-

α

2

…（3分）
证明：连接AG．
∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAC=∠BAE．
又AD=AB，AC=AE，
∴△DAC≌△BAE…（4分）
∴DC=BE，∠ADC=∠ABE．
又G、F为中点，
∴DG=BF，
∴△DAG≌△BAF…（5分）
∴∠DAG=∠BAF．
∴∠GAF=∠DAB=α，
∴∠AFG=90°-

α

2

…（6分）

（3）解：如图．
延长CN于H，使NH=MC，连接AH．
∵NC⊥BC，∠MAN=90°，
∴∠AMC+∠ANC=180°…（7分）
∵∠ANH+∠ANC=180°，
∴∠AMC=∠ANH…（8分）
在△AMC与△ANH中，

MC=NH ∠AMC=∠ANH AM=AN

．
∴△AMC≌△ANH（SAS），
∴AC=AH，∠MAC=∠NAH…（9分）
∴∠HAC=∠MAN=90°．
∴∠ACH=45°，
∴∠ACB=45°…（10分）

点评：此题考查全等三角形的判定与性质，综合性强，难度大．