Question

【题目】问题原型：如图①，在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在AD上取点E，使DE＝CD，连结BE．求证：BE＝AC．

问题拓展：如图②，在问题原型的条件下，F为BC的中点，连结EF并延长至点M，使FM＝EF，连结CM．

（1）判断线段AC与CM的大小关系，并说明理由．

（2）若AC=，直接写出A、M两点之间的距离．

Answer 1

【答案】问题原型：见解析； 问题拓展：（1）AC＝CM，理由见解析；（2）AM＝．

【解析】

根据题意证出△BDE≌△ADC即可得出答案；

证出△BEF≌△CMF即可得出答案；

（2）连接AM，求出∠ACM＝90°，即可求出A

问题原型：∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠BAD＝45°，

∴∠ABC＝∠BAD，

∴AD＝BD，

在△BDE和△ADC中，

∵，

∴△BDE≌△ADC（SAS），

∴BE＝AC，

问题拓展：（1）AC＝CM，理由：

∵点F是BC中点，

∴BF＝CF，

在△BEF和△CMF中，

∵，

∴△BEF≌△CMF（SAS），

∴BE＝CM，

由（1）知，BE＝AC，

∴AC＝CM；

（2）如图②，

连接AM，由（1）知，△BDE≌△ADC，

∴∠BED＝∠ACD，

由（2）知，△BEF≌△CMF，

∴∠EBF＝∠BCM，

∴∠ACM＝∠ACD+∠BCM＝∠BED+∠EBF＝90°，

∵AC＝CM，

∴AM＝AC＝．