Question

半径分别为5和3的两圆相交，测得公共弦长为6，求两圆的圆心距是多少？

Answer 1

解：分类讨论：
（1）当两圆圆心在公共弦异侧时，如图所示：

圆A，圆B的半径分别为5和3，圆A与圆B相交于C、D，CD的长为6，分别连接AB，AC，BC，设AB交CD于E，因为圆A，圆B的公共弦，AB为圆A，圆B的连心线，所以AB垂直平分CD，
在直角三角形ACE中，因为AC=5，CE=CD=3，
根据勾股定理得AE²+CE²=AC²，
所以=4，在直角三角形BCE中，因为BC=3，
根据勾股定理得BE²+CE²=BC²，
所以BE==3，
所以AB=AE+BE=7；
（2）当两圆圆心在公共弦同侧时，如图所示：

圆A，圆B的半径分别为5和3，圆A和圆B分别交于C、D，CD的长为6，连接AB，延长AB交CD于E，分别连接AC、BC，因为CD为圆A，圆B的公共弦，AB为圆A，圆B的连心线，所以直线AB垂直平分CD，
在直角三角形ACE中，因为AC=5，CE=3，
根据勾股定理AE==4，在直角三角形BCE中，因为BC=3，
根据勾股定理得BE²+CE²=BC²，
所以BE==3，
所以AB=AE-BE=1，
综上所述，两圆的圆心距为7或1。