Question

矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，-3），直线y=-

3

4

x与BC边相交于D点．
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线y=ax2-

9

4

x经过点A，求此抛物线的表达式及对称轴；
（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为坐标轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求出点M的坐标和符合条件的点P的坐标；
（4）当（3）中符合条件的△POM面积最大时，过点O的直线l将其面积分为1：3两部分，请直接写出直线l的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据直线y=-

3

4

x与BC边相交于D点，可得点D的纵坐标为-3，代入函数解析式可得出点D的横坐标；
（2）利用待定系数法求出a的值，继而可得出对称轴；
（3）由（2）可得点M的横坐标，代入解析式可得出点M的纵坐标，结合图形可得，只要满足△POM是直角三角形，即可满足条件，从而寻找符合题意的点P即可；
（4）过原点的直线，只要过线段MP₄四等分点H、G即可．

解答：解：（1）∵D是直线y=-

3

4

x与BC的交点，
∴可得点D的纵坐标为-3，
从而可得D的坐标为（4，-3）；

（2）点A（6，0）代入y=ax²-

9

4

x，得0=36a-

9

4

×6，
解得：a=

3

8

故抛物线的表达式为：y=

3

8

x2-

9

4

x；
从而可得对称轴是直线x=3；
（3）
点M的横坐标为3，代入直线求得M（3，-

9

4

），
对称轴与x轴交点P₁符合，P₁（3，0），
过M作y轴的垂线交y轴于点P₂，则P₂符合条件，
解得P₂（0，-

9

4

），
过M作OM的垂线分别交x轴y轴于点P₃、P₄，
则P₃（

75

16

，0），P₄（0，-

25

4

）．

（4）由（3）可得△OMP4的面积最大，
则只要直线过MP₄的四等分点即可将三角形面积四等分，
直线MP₄经过点M（3，-

9

4

），点P₄（0，-

25

4

），
故直线MP₄的解析式为：y=

4

3

x-

25

4

，
线段MP₄的三等分点有两个，分别为H、G，
，
则点H的横坐标为

3

4

，点G的横坐标为

9

4

，
故可得点H的坐标为（

3

4

，-

21

4

），点G坐标为（

9

4

，-

13

4

），
当直线过点O、点H时，直线解析式为y=-7x；
当直线过点O、点G时，直线解析式为y=-

13

9

x．
综上可得直线解析式为y=-7x或y=-

13

9

x．

点评：此题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、二次函数的对称轴，解答本题的关键要求同学们能将所学的知识融会贯通．