Question

（2010•皇姑区一模）如图所示，ABCD为正方形．
（1）如图1，点P为△ABC的内心，问：DP与DA有何数量关系？证明你的结论．
（2）如图2，若点E在CB边上（不与点C、B重合），点F在BA的延长线上，AF=CE，点P为△FBE的内心，则DP与DF有何数量关系？证明你的结论．
（3）如图3，若点E在CB延长线上（不与点B重合），点F在BA的延长线上，AF=CE，点P是△FEB中与∠FEB、∠FBE相邻的两个外角平分线的交点，完成图3，判断DP与DF之间的数量关系（直接写出结论，不证明）．

Answer 1

分析：（1）连接AP，BP，求出P在BD上，求出∠BAP=∠CAP，∠DAC=∠ABD=45°，根据三角形外角性质求出∠DAP=∠DPA，根据等腰三角形判定推出即可；
（2）连接DE，通过全等求出DE=DF，∠DEF=∠DFE=45°，求出∠DFP=∠DPF，根据等腰三角形判定推出即可；
（3）画出图形，连接BD，DE，由（2）知△DEF是等腰直角三角形，求出∠DEF=∠DFE=45°，求出∠P=180°-45°-∠PEB，∠DEP=180°-45-∠DEP，即可得出∠DEP=∠P，根据等腰三角形的判定推出即可．

解答：（1）DP=DA，
证明：连接AP，BP，
∵点P是△ABC内心，
∴∠BAP=∠CAP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP=∠CBP=45°，
∴P在对角线BD上，
∴∠DPA=∠DBA+∠BAP=45°+∠BAP，∠DAP=∠DAC+∠CAP=45°+∠CAP，
∴∠DAP=∠DPA，
∴DP=DA．

（2）DP=DF，
证明：连接DE，PB，PF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠C=∠FAD=∠ADC=∠ABC=90°，
在△ECD是△FAD中，

CD=AD ∠C=∠FAD CE=AF

，
∴△ECD≌△FAD，
∴DF=DE，∠FDA=∠CDE，
∴∠ADC=∠CDE+∠ADE=∠FDA+∠ADE=∠FDE=90°，
∴∠DFE=∠DEF=45°，
∵P在△EBF的内心上，
∴∠BFP=∠EFP，∠ABP=∠CBP=45°，
∴P在BD上，
∴∠DPF=∠DBA+∠BFP=45°+∠BFP，
∴∠DFP=∠DFE+∠EFP=45°+∠EFP，
∴∠DPF=∠DFP，
∴DP=DF．

（3）DP=DF，如图，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MBE=90°，
∵BP平分∠MBE，
∴∠EBP=45°，
由（2）知：∠FED=45°，
∵EP平分∠NEB，
∴∠BEP=∠NEP，
∵∠P=180°-∠EBP-∠BEP=180°-45°-∠BEP，∠DEP=180°-∠FED-∠PEN=180°-45°-∠NEP，
∴∠P=∠DEP，
∴DE=DP，
∵DE=DF，
∴DP=DF．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形性质，三角形外角性质，等腰直角三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，证明过程类似．