Question

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，请探究：
（1）求证：△DFE是等腰直角三角形；
（2）四边形CEDF的面积是否发生变化？若不变化，请求出面积．

Answer 1

分析 （1）连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DF=DE．所以△DEF是等腰直角三角形；
（2）由割补法可知四边形CDFE的面积保持不变，利用三角形的面积公式求出答案．

解答 解：（1）连接CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB，
∵AE=CF，
在△ADE与△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCB}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，∠CDF=∠ADE，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠CDF+∠CDE=∠EDF=90°，
∴DE⊥DF，
∴△DFE是等腰直角三角形；

（2）四边形CEDF的面积不发生变化．
理由：∵△ADE≌△CDF，
∴S_△CDF=S_△ADE
∴S_{四边形CEFD}=S_△ADC．
∴四边形CEDF的面积是为定值，
∴四边形CEDF的面积为$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4×4=4．

点评 该题主要考查了全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．