Question

17．如图菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分别为线段AB，BC上两点，且BM=CN，且AN，CM所在直线相交于E．
（1）证明△BCM≌△CAN；
（2）∠AEM=60°；
（3）求证DE平分∠AEC；
（4）试猜想AE，CE，DE之间的数量关系并证明．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接AC．由题意△ABC，△ADC都是等边三角形，根据SAS即可证明△BCM≌△CAN．
（2）由△BCM≌△CAN，推出∠BCM=∠CAN，推出∠AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°．
（3）如图2中，作DG⊥AN于G．DH⊥MC交MC的延长线于H．由△DGA≌△DHC，推出DG=DH，由DG⊥AN，DH⊥MC，推出∠DEG=∠DEH．即DE平分∠AEC．
（4）结论：EA+EC=ED．由（3）可知，∠GED=60°，在Rt△DEG中，由∠EDG=30°，推出DE=2EG，易证△DEG≌△DEH，推出EG=EH，推出EA+EC=EG+AG+EH-CH，由△DGA≌△DHC，推出GA=CH，推出EA+EC=2EG=DE，

解答 解：（1）如图1中，连接AC．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠ADC=60°，
∴△ACD，△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠B=∠ACN=60°，
在△BCM和△CAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠B=∠ACN}\\{BM=CN}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△CAN．

（2）如图1中，∵△BCM≌△CAN，
∴∠BCM=∠CAN，
∴∠AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°．
故答案为60．

（3）如图2中，作DG⊥AN于G．DH⊥MC交MC的延长线于H．

∵∠AEM=60°，
∴∠AEC=120°，
∵∠DGE=∠H=90°，
∴∠GEH+∠GDH=180°，
∴∠GDH=∠ADC=60°，
∴∠ADG=∠CDH，
在△DGA和△DHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGA=∠H=90°}\\{∠ADG=∠CDH}\\{DA=DC}\end{array}\right.$，
∴△DGA≌△DHC，
∴DG=DH，
∵DG⊥AN，DH⊥MC，
∴∠DEG=∠DEH．
∴DE平分∠AEC．

（4）结论：EA+EC=ED．理由如下：
如图2中，由（3）可知，∠GED=60°，
在Rt△DEG中，∵∠EDG=30°，
∴DE=2EG，
易知△DEG≌△DEH，
∴EG=EH，
∴EA+EC=EG+AG+EH-CH，
∵△DGA≌△DHC，
∴GA=CH，
∴EA+EC=2EG=DE，
∴EA+EC=ED．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质．菱形性质．等边三角形的判定和性质、角平分线的判定定理．直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会证明角平分线的添加辅助线的方法，属于中考压轴题．