Question

如图，在海中距离小岛M 30

2

海里范围内有暗礁，一轮船自南向北航行，它在A处测得小岛M位于北偏西30°方向上，且A，M之间的距离为60海里．若轮船继续向正北方向航行，有无触礁的危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始至少沿北偏东多少度方向航行，才能安全通过这一海域？

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-方向角问题

专题：

分析：过点M作南北线的垂线，垂足为N，根据三角函数即可求得MN的长度，比较与30

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海里的大小即可确定有无危险；
若继续航行有危险，则设安全航行方向为AQ，过点M作ME⊥AQ于点E，在直角△AME中，利用三角函数即可求得∠MAQ的度数，进而求得∠NAQ的度数．

解答：解：过点M作南北线的垂线，垂足为N（如图），
由题意知：AM=60，∠MAN=30°，
∴MN=

1

2

AM=30＜30

2

．
∴如果轮船继续向正北方向航行，有触礁危险．
为了安全，应改变航行方向，并且保证M点到航线的距离不小于30

2

海里．
设安全航行方向为AQ，过点M作ME⊥AQ于点E．
由题意知：AM=60，ME=30

2

，
∴sin∠MAE=

ME

AM

=

30 2

60

=

2

2

，
∴∠MAE=45°，
∴∠NAQ=∠MAE-∠MAN=45°-30°=15°．
答：轮船自A处开始至少沿东偏南15°方向航行，才能安全通过这一海域．

点评：本题考查了解直角三角形的应用，关键是如何构造直角三角形并知道求哪一条线段的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．