Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，点E为AB上一点，且AD=AE，CD=CE，点F在CE上，且∠ADC=∠CFD．
（1）若CE平分∠BCD，求证：CE=2BE；
（2）求证：∠DCE=90°-2∠CDF．

Answer 1

证明：（1）连接AC，
∵在△CDA和△CEA中，
，
∴△CDA≌△CEA（SSS），
∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA，
∴∠ECA=∠DCE，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAB=90°，∠DAC=∠ACB，
∵∠DAC=∠EAC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠ECA=∠DCE=∠EBC，
∴∠BCE=30°，
∵∠B=90°，
∴CE=2BE．

（2）由（1）得：△CDA≌△CEA，
∴∠ADC=∠AEC，
∵∠ADC=∠CFD，
∴∠AEC=∠CFD，
∴AE∥DF，
由（1）得：∠DAB=90°，
∴∠ADF=90°，
∵∠DCE+∠CFD+∠CDF=180°，
∴∠DCE=180°-∠CDF-∠CFD=180°-∠CDF-∠AEC=180°-∠CDF-∠ADC，
又∵∠ADC=90°+∠CDF，
∴∠DCE=180°-∠CDF-90°-∠CDF，
∴∠DCE=90°-2∠CDF．
分析：（1）连接AC，证△CDA≌△CEA，推出∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA，求出∠ECA=∠DCE，求出∠BAC=∠ACB=45°和∠ECA=∠DCE=∠EBC，求出∠BCE=30°即可；
（2）求出∠ADC=∠AEC=∠CFD，推出AE∥DF，求出∠ADF=90°，求出∠DCE+∠CFD+∠CDF=180°，∠DCE=180°-∠CDF-∠ADC，∠ADC=90°+∠CDF，代入求出即可．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，直角梯形，平行线的性质和判定，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形性质等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．