Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c经过A（3，0）、B（5，0）、C（0，5）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，求△BCD的面积；
（3）若在抛物线的对称轴上有一个动点P，当△OCP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）知道三点在二次函数图象上，联立方程组解得a、b、c；
（2）首先求出抛物线顶点坐标，设直线CD的解析式为y=kx+b，求出k、b，由三角形BCD的面积=三角形BFD的面积+三角形BFC的面积，求得三角形BCD的面积；
（3）分四种情况：设对称轴与x轴交于点E．
①当OP=OC=5，且∠COP为锐角时，求出P点坐标，
②当OP=OC=5，且∠COP为钝角时，求出P点坐标，
③当OC=CP=5，且∠OCP为锐角时，求出P点坐标，
④当OC=CP=5，且∠OCP为钝角时，求出P点坐标．

解答：解：（1）根据题意，c=5．
∴

9a+3b+5=0 25a+5b+5=0

解得

a= 1 3 b=- 8 3

∴抛物线解析式为y=

1

3

x2-

8

3

x+5；（2分）

（2）y=

1

3

x2-

8

3

x+5=

1

3

(x2-8x+16)-

16

3

+5=

1

3

(x-4)2-

1

3

∴抛物线顶点D的坐标为(4 ， -

1

3

)（3分）
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则

b=5 4k+b=- 1 3 .

∴

k=- 4 3 b=5.

∴直线CD的解析式为y=-

4

3

x+5．
设直线CD与x轴交于点F，则F点坐标为(

15

4

 ， 0)．
∴BF=5-

15

4

=

5

4

．
∴S△BCD=S△BFD+S△BFC=

1

2

×

5

4

×

1

3

+

1

2

×

5

4

×5=

10

3

．（4分）

（3）分四种情况：设对称轴与x轴交于点E．
①当OP=OC=5，且∠COP为锐角时，如图1，

则有PE=

OP2-OE2

=

52-42

=3，
∴P点坐标为（4，3）（5分）
②当OP=OC=5，且∠COP为钝角时，如图2，

则有PE=

OP2-OE2

=

52-42

=3，
∴P点坐标为（4，-3）．（6分）
③当OC=CP=5，且∠OCP为锐角时，如图3，

作PQ⊥y轴，垂足为Q，
则有CQ=

PC2-PQ2

=

52-42

=3，
∴OQ=OC-CQ=5-3=2．
∴P点坐标为（4，2）（7分）
④当OC=CP=5，且∠OCP为钝角时，如图4，

作PQ⊥y轴，垂足为Q，
则有CQ=

PC2-PQ2

=

52-42

=3，
∴OQ=OC+CQ=5+3=8．
∴P点坐标为（4，8）（8分）
综上所述，点P的坐标为（4，3）、（4，-3）、（4，2）或（4，8）．

点评：本题主要考查二次函数的应用，知道图象上三点，就能求出抛物线解析式，会分类讨论是解答本题关键所在．