Question

【题目】如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．

（1）点C的坐标是　 　，线段AD的长等于　 　；

（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x2+bx+c经过点G，M，求抛物线的解析式；

（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）（0，3）；4；（2）；（3）抛物线上存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形．

【解析】

（1）首先求出图象与x轴交于点A，与y轴交于点B的坐标，进而得出C点坐标以及线段AD的长；

（2）首先得出点M是CD的中点，即可得出M点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；

（3）分别根据当点F在点C的左边时以及当点F在点C的右边时，分析四边形CFPE为菱形得出即可．

（1）∵与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴y=0时，x=﹣3，x=0时，y=1．

∴A点坐标为：（﹣3，0），B点坐标为：（0，1）．

∴OC=3，DO=1．

∴点C的坐标是（0，3），线段AD的长等于4．

（2）∵CM=OM，

∴∠OCM=∠COM．

∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，

∴∠ODM=∠MOD．

∴OM=MD=CM．

∴点M是CD的中点，

∴点M的坐标为（，）．

∵抛物线y=x2+bx+c经过点C，M，

∴，解得：．

∴抛物线y=x2+bx+c的解析式为：．

（3）情形1：如图1，当点F在点C的左边时，四边形CFEP为菱形，

∴∠FCE=PCE．

由题意可知，OA=OC，

∴∠ACO=∠PCE=45°．

∴∠FCP=90°．

∴菱形CFEP为正方形．

过点P作PH⊥CE，垂足为H，

则Rt△CHP为等腰直角三角形．

∴CP=CH=PH．

设点P为（x，），则OH=，PH=x，

∵PH=CH=OC﹣OH，

∴，

解得：x1=， x2=0（舍去）．

∴CP=CH=．

∴菱形CFEP的周长l为：．

情形2：如图2，当点F在点C的右边时，四边形CFPE为菱形，

∴CF=PF，CE∥FP．

∵直线AC过点A（﹣3，0），点C（0，3），

∴直线AC的解析式为：y=x+3．

过点C作CM⊥PF，垂足为M，

则Rt△CMF为等腰直角三角形，CM=FM．

延长PF交x轴于点N，则PN⊥x轴，

∴PF=FN﹣PN．

设点P为（x，），则点F为（x，x+3），

∴．

∴，

解得：，x2=0（舍去）．

∴．

∴菱形CFEP的周长l为：）．

综上所述，这样的菱形存在，它的周长为或．