Question

【题目】探究：

（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=，请直接写出BE、DF与EF之间的数量关系；

（2）如图2，若把（1）问中的条件变为“四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=，E、F分别是边BC、CD上的点，且，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请写出结论并证明，若不变，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）BE+DF=EF；（2）成立，证明见解析；（3）BE—DF=EF，证明见解析

【解析】

(1)将△ADF绕点A顺时针旋转,使AD与AB重合,得到△ABF,然后求出∠EAF=∠EAF=45°,利用“边角边”证明△AEF和△AEF′全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=EF′,从而得解;
(2)将△ADF绕点A顺时针旋转,使AD与AB重合,得到△ABF′,根据旋转变换的性质可得△ADF和△ABF′全等,根据全等三角形对应角相等可得∠BAF′=∠DAF,对应边相等可得AF′=AF,BF′=DF,对应角相等可得∠ABF′=∠D,再根据∠EAF=∠BAD证明∠EAF′=∠EAF,并证明E、B、F′三点共线,然后利用“边角边”证明△AEF和△AEF′全等,根据全等三角形对应边相等可得EF′=EF,从而得解;
(3)将△ADF绕点A顺时针旋转,使AD与AB重合,点F落在BC上点F′处,得到△ABF′,根据旋转变换的性质可得△ADF和△ABF′全等,根据全等三角形对应角相等可得∠BAF′=∠DAF,对应边相等可得AF′=AF,BF′=DF,再根据∠EAF=∠BAD证明∠F′AE=∠FAE,然后利用“边角边"证明△F′AE和△FAE全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=EF′,从而求出EF=BE-DE

(1)如图1,将△ADF绕点A顺时针旋转,使AD与AB重合,得到△ABF′,
∵∠EAF=45°,
∴∠EAF′=∠EAF=45°,
在△AEF和△AEF′中,

∴△AEF≌△AEF′(SAS),
∴EF=EF′
又EF′=BE+BF′=BE+DF
∴EF=BE+DF

（2）结论EF=BE+DF仍然成立．

理由如下：如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF′，
则△ADF≌△ABF′，
∴∠BAF′=∠DAF，AF′=AF，BF′=DF，∠ABF′=∠D，
又∵∠EAF=∠BAD，
∴∠EAF=∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAF′，
∴∠EAF=∠EAF′，
又∵∠ABC+∠D=180°，
∴∠ABF′+∠ABE=180°，
∴F′、B、E三点共线，
在△AEF与△AEF′中，

∴△AEF≌△AEF′（SAS），
∴EF=EF′，
又∵EF′=BE+BF′，
∴EF=BE+DF；
（3）发生变化．EF、BE、DF之间的关系是EF=BE-DF．

理由如下：如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点F落在BC上点F′处，得到△ABF′，
∴△ADF≌△ABF′，
∴∠BAF′=∠DAF，AF′=AF，BF′=DF，
又∵∠EAF=∠BAD，且∠BAF′=∠DAF，
∴∠F′AE=∠BAD-（∠BAF′+∠EAD）=∠BAD-（∠DAF+∠EAD）=∠BAD-∠FAE=∠FAE，
即∠F′AE=∠FAE，
在△F′AE与△FAE中，

∴△F′AE≌△FAE（SAS），
∴EF=EF′，
又∵BE=BF′+EF′，
∴EF′=BE-BF′，
即EF=BE-DF．