Question

15．设二次函数y₁，y₂的图象的顶点分别为（a，b）、（c，d），当a=-c，b=2d，且开口方向相同时，则称y₁是y₂的“反倍顶二次函数”．
（1）请写出二次函数y=x²+x+1的一个“反倍顶二次函数”；
（2）已知关于x的二次函数y₁=x²+nx和二次函数y₂=nx²+x，函数y₁+y₂恰是y₁-y₂的“反倍顶二次函数”，求n．

Answer 1

分析 （1）先求出y=x²+x+1的顶点坐标，然后根据反倍顶二次函数”的定义求出答案；
（2）先求出y₁+y₂和y₁-y₂的解析式并求出顶点坐标，然后根据条件a=-c，b=2d，且开口方向相同求出n的值．

解答 解：（1）∵y=x²+x+1，
∴y=$（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$，
∴二次函数y=x²+x+1的顶点坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），
∴二次函数y=x²+x+1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴反倍顶二次函数的解析式为y=x²-x+$\frac{7}{4}$；

（2）y₁+y₂=x²+nx+nx²+x=（n+1）x²+（n+1）x，
y₁+y₂=（n+1）（x²+x+$\frac{1}{4}$）-$\frac{n+1}{4}$，
顶点坐标为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{n+1}{4}$），
y₁-y₂=x²+nx-nx²-x=（1-n）x²+（n-1）x，
y₁-y₂=（1-n）（x²-x+$\frac{1}{4}$）-$\frac{1-n}{4}$，
顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1-n}{4}$），
由于函数y₁+y₂恰是y₁-y₂的“反倍顶二次函数”，
则-2×$\frac{1-n}{4}$=-$\frac{n+1}{4}$，
解得n=$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是掌握“反倍顶二次函数”的定义，此题题目比较新颖，难度一般．