Question

15．如图，抛物线y=x²+bx+c经过B（-1，0），D（-2，5）两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q，P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使∠APB=90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；
（3）连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒$\sqrt{2}$个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？

Answer 1

分析 （1）把B（-1，0），D（-2，5）代入y=x²+bx+c，得出关于b、c的二元一次方程组，即可求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线解析式求出OA，设P（m，m²-2m-3），则-1≤m≤3，PH=-（m²-2m-3），BH=1+m，AH=3-m，证明△AHP∽△PHB，得出PH²=BH•AH，由此得出方程[-（m²-2m-3）]²=（1+m）（3-m），解方程即可；
（3）由题意，动点M运动的路径为折线BQ+QD，运动时间：t=BQ+$\frac{1}{\sqrt{2}}$DQ，如备用图，作辅助线，将BQ+$\frac{1}{\sqrt{2}}$DQ转化为BQ+QG；再由垂线段最短，得到垂线段BH与直线AD的交点即为所求的Q点．

解答 解：（1）把B（-1，0），D（-2，5）代入y=x²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{4-2b+c=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）存在点P，使∠APB=90°．
当y=0时，即x²-2x-3=0，解得：x₁=-1，x₂=3，
∴OB=1，OA=3．
设P（m，m²-2m-3），则-1≤m≤3，PH=-（m²-2m-3），BH=1+m，AH=3-m，
∵∠APB=90°，PH⊥AB，
∴∠PAH=∠BPH=90°-∠APH，∠AHP=∠PHB，
∴△AHP∽△PHB，
∴$\frac{PH}{BH}$=$\frac{AH}{PH}$，
∴PH²=BH•AH，
∴[-（m²-2m-3）]²=（1+m）（3-m），
解得m₁=1+$\sqrt{3}$，m₂=1-$\sqrt{3}$，
∴点P的横坐标为：1+$\sqrt{3}$或1-$\sqrt{3}$；

（3）如图，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=5，ON=2，AN=3+2=5，
∴tan∠DAB=$\frac{DN}{AN}$=$\frac{5}{5}$=1，
∴∠DAB=45°．
过点D作DK∥x轴，则∠KDQ=∠DAB=45°，DQ=$\sqrt{2}$QG．
由题意，动点M运动的路径为折线BQ+QD，运动时间：t=BQ+$\frac{1}{\sqrt{2}}$DQ，
∴t=BQ+QG，即运动的时间值等于折线BQ+QG的长度值．
由垂线段最短可知，折线BQ+QG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
过点B作BH⊥DK于点H，则t_最小=BH，BH与直线AD的交点，即为所求之Q点．
∵A（3，0），D（-2，5），
∴直线AD的解析式为：y=-x+3，
∵B点横坐标为-1，
∴y=1+3=4，
∴Q（-1，4）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线与直线的解析式，相似三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，函数图象上点的坐标特征等知识．利用数形结合与方程思想是解题的关键．