【题目】如图,用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子,若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形,设小正方形的边长为xcm.
(1)底面的长AB= cm,宽BC= cm(用含x的代数式表示)
(2)当做成盒子的底面积为300cm2时,求该盒子的容积.
(3)该盒子的侧面积S是否存在最大的情况?若存在,求出x的值及最大值是多少?若不存在,说明理由.
【答案】(1)50﹣2x,30﹣2x;(2)当x1=10时,盒子容积为3000cm3;(3)当x=10时,S有最大值,最大值为800.
【解析】
(1)利用长方形的长与宽以及在铁片的四个角截去四个相同的小正方形,得出AB与BC的长即可;
(2)利用(1)中长与宽以及盒子的底面积为300cm2时得出x的值,即可的求出盒子的容积;
(3)利用盒子侧面积为:S=2x(50-2x)+2x(30-2x)进而利用配方法求出最值即可.
(1)∵用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子,在铁片的四个角截去四个相同的小正方形,
设小正方形的边长为xcm,
∴底面的长AB=(50﹣2x)cm,宽BC=(30﹣2x)cm,
故答案为:50﹣2x,30﹣2x;
(2)依题意,得:
(50﹣2x)(30﹣2x)=300
整理,得:x2﹣40x+300=0
解得:x1=10,x2=30(不符合题意,舍去)
当x1=10时,盒子容积=(50﹣20)(30﹣20)×10=3000(cm3);
(3)盒子的侧面积为:
S=2x(50﹣2x)+2x(30﹣2x)
=100x﹣4x2+60x﹣4x2
=﹣8x2+160x=﹣8(x2﹣20x)
=﹣8[(x﹣10)2﹣100]
=﹣8(x﹣10)2+800
∵﹣8(x﹣10)2≤0,
∴﹣8(x﹣10)2+800≤800,
∴当x=10时,S有最大值,最大值为800.
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【题目】工厂对某种新型材料进行加工,首先要将其加温,使这种材料保持在一定温度范围内方可加工,如图是在这种材料的加工过程中,该材料的温度y(℃)时间x(min)变化的数图象,已知该材料,初始温度为15℃,在温度上升阶段,y与x成一次函数关系,在第5分钟温度达到60℃后停止加温,在温度下降阶段,y与x成反比例关系.
(1)写出该材料温度上升和下降阶段,y与x的函数关系式:
①上升阶段:当0≤x≤5时,y= ;
②下降阶段:当x>5时,y .
(2)根据工艺要求,当材料的温度不低于30℃,可以进行产品加工,请问在图中所示的温度变化过程中,可以进行加工多长时间?
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,2),对称轴为直线x=﹣2,平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点,点B在对称轴左侧,BC=6.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)点P在x轴上,直线CP将△ABC面积分成2:3两部分,请直接写出P点坐标.
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【题目】已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象(如图所示),当直线y=x+m与这个新图象有四个交点时,m的取值范围是_____.
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【题目】如图,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发,均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动,当点E到达点B时,四个点同时停止运动,在运动过程中,运动时间t=_____秒时四边形EFGH的面积最小.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AD为⊙O的直径,AD与BC相交于点E,且BE=CE.
(1)请判断AD与BC的位置关系,并说明理由;
(2)若BC=6,ED=2,求AE的长.
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【题目】已知:△ABC在直角坐标平面内,三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是 ;
(2)以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2:1,点C2的坐标是 ;
(3)△A2B2C2的面积是 平方单位.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=3时,y有最小值﹣4,且图象经过点(﹣1,12).
(1)求此二次函数的解析式;
(2)该抛物线交x轴于点A,B(点A在点B的左侧),交y轴于点C,在抛物线对称轴上有一动点P,求PA+PC的最小值,并求当PA+PC取最小值时点P的坐标.
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,CD=2DE.若△DEF的面积为a,则平行四边形ABCD的面积为 ▲ (用a的代数式表示).
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