Question

【题目】如图，⊙是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF。

(1)、若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）

(2)、求证：OD=OE；

(3)、求证：PF是⊙的切线。

Answer 1

【答案】(1)、2π；(2)、证明过程见解析；(3)、证明过程见解析.

【解析】试题分析：(1)、根据直径得出半径的长度，然后根据弧长的计算公式进行求解；(2)、根据垂直得出∠ADO=∠PEO，对顶角相等，半径相等得出△ADO和△PEO全等，从而得出OD=OE；(3)、连接PC，根据直径得出∠ABC=90°，从而说明PD∥BC，根据已知条件结合(2)得出△PCE和△PFC全等，从而说明∠OPF=90°，得出切线.

试题解析：(1)、由直径AC=12得半径OC=6 劣弧PC的长为

(2)、∵ OD⊥AB，PE⊥AC ∴ ∠ADO=∠PEO=90°

在△ADO和△PEO中，∠ADO=∠PEO，∠AOD=∠POE，OA=OP ∴ △ADO≌△PEO ∴ OD=OE

(3)、连接PC，由AC是直径知BC⊥AB，又OD⊥AB， ∴ PD∥BF

∴ ∠OPC=∠PCF，∠ODE=∠CFE 由（2）知OD=OE，则∠ODE=∠OED，又∠OED=∠FEC

∴ ∠FEC=∠CFE ∴ EC=FC 由OP=OC知∠OPC=∠OCE

∴ ∠PCE =∠PCF 在△PCE和△PFC中， EC=FC ∠PCE=∠PCF PC=PC

∴ △PCE≌△PFC ∴ ∠PFC =∠PEC=90° 由∠PDB=∠B=90°可知∠OPF=90°即OP⊥PF

∴ PF是⊙的切线