Question

如图，△ABC内接于圆O，AB=AC，过点A作AE∥BC交圆O直径BD的延长线于点E．
（1）求AE与圆O的位置关系，并加以证明；
（2）连接AD，若sin∠BAC=

3

5

，BC=6，求AD的长．

Answer 1

考点：切线的判定,解直角三角形

专题：

分析：（1）作射线AO交BC于F，求出AF⊥BC，根据平行线的性质得出AF⊥AE，根据切线的判定推出即可；
（2）作直径CM，连接BM，解直角三角形求出圆的直径，根据勾股定理求出OF、AC，解直角三角形求出即可．

解答：（1）AE与圆O的位置关系式相切，
证明：作射线AO交BC于F，
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，
∵AE∥BC，
∴AF⊥AE，
∵AF过O，
∴AE是⊙O的切线；

（2）解：作直径CM，连接BM，
则∠M=∠BAC，
∵sin∠BAC=

3

5

，BC=6，
∴

6

CM

=

3

5

，
∴CM=10，
即BD=10，OC=5，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴CF=BF=3，
由勾股定理得：OF=4，则AF=4+5=9，由勾股定理得：AC=

92+32

=3

10

，
∵∠ACB=∠ADB，
∴cos∠ADB=cos∠ACE，
∴

AD

10

=

3

3 10

，
∴AD=

10

．

点评：本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，圆周角定理的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．