Question

【题目】如图，已知抛物线 （其中 ）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴l与x轴交于点D，且点D恰好在线段BC的垂直平分线上．
（1）求抛物线的关系式；
（2）过点 的线段MN∥y轴，与BC交于点P，与抛物线交于点N．若点E是直线l上一点，且∠BED＝∠MNB－∠ACO时，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：求得点A（-1,0）、B（b，0）、C（0，b），

易得∠ACB＝90°，由△AOC∽△COB可得b1=4，b2=0（舍去），

∴y=x2+x+2.

（2）

解：易证∠ACO＝∠CBO，∠MNB＝∠MBN，所以∠BED＝∠CBN，

连结CN， 由勾股定理得CN＝，BC＝，BN＝，

由勾股定理逆定理证得∠CNB＝90°，从而得tan∠BED =tan∠CBN =，

然后解Rt△BED可得DE＝，

∴点E坐标为（，） 或（，）.

【解析】（1）根据△AOC∽△COB求得b的值，在利用待定系数法解出解析式即可.
（2） 由勾股定理得CN＝，BC＝，BN＝，由勾股定理逆定理证得∠CNB＝90°，从而得tan∠BED =tan∠CBN =， 然后解Rt△BED解出DE的长即可得出点E坐标.

【考点精析】通过灵活运用二次函数的图象和二次函数的性质，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小即可以解答此题．