Question

如图，在平行四边形ABCD中，点M、N分别在线段DA、BA的延长线上，且BD=BN=DM，连接BM、DN并延长交于点P．
（1）求证：∠P=90°-

1

2

∠C；
（2）当∠C=90°，ND=NP时，判断线段MP与AM的数量关系，并给予证明．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：（1）首先过点B作BF⊥PD于点F，过点D作DG⊥BP于点G，BF与DG交于点H，由BD=BN=DM，可得BF与DG是∠DBN、∠MDB的平分线，又由四边形内角和为360°，可得∠P+∠FHG=180°，继而可得∠DHB=∠FHG=180°-∠P=90°+

1

2

∠C，则可证得结论；
（2）首先过点P作PS⊥CD于点S，PR⊥BC于点R，易证得△PKD≌△PSD（AAS），同理：△PKD≌△PRB，然后延长BN交QS于点Q，则Q为PS的中点，设QS=PQ=x，即可求得答案．

解答：（1）证明：过点B作BF⊥PD于点F，过点D作DG⊥BP于点G，BF与DG交于点H，
∵BD=BN=DM，
∴BF与DG是∠DBN、∠MDB的平分线，
∴由四边形内角和为360°，可得∠P+∠FHG=180°，
∵∠DHB=180°-（∠GDB+∠FBD）=180°-

1

2

（180°-∠DAB）=90°+

1

2

∠DAB，
∴∠DHB=∠FHG=180°-∠P=90°+

1

2

∠C，
∴∠P=90°-

1

2

∠C；

（2）MP：AM=

5

：2．
理由：过点P作PS⊥CD于点S，PR⊥BC于点R，
当∠C=90°时，则∠DPB=45°，
∵BN∥CD，
∴∠BND=∠BDN=∠SDN，
同理：∠PBD=∠PBR，
作PK⊥BC于点K，
在△PKD和△PSD中，

∠S=∠PKD=90° ∠PDS=∠PDK PD=PD

，
∴△PKD≌△PSD（AAS），
同理：△PKD≌△PRB，
∴PS=PR，
∴四边形PSCR是正方形，
延长BN交QS于点Q，则Q为PS的中点，
设QS=PQ=x，
则PS=CS=RC=2x，RB=DB=x，
设SD=m，BD=x+m，
则（x+m）²=x²+（2x-m）²，
∴m：x=2：3，
∴PB=

5

x，PM=

5

3

x，AM=

2

3

x，
∴MP：AM=

5

：2．

点评：此题考查了平行四边形的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度很大，解题的关键是准确作出辅助线，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．