精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图,正方形ABCD中,点P是AD上的一动点(与点D、点A不重合),DE⊥CP,垂足为E,EF⊥BE与DC交于点F.
(1)求证:△DEF∽△CEB;
(2)当点P运动到DA的中点时,求证:点F为DC的中点.
分析:(1)由DE⊥CP,EF⊥BE,则∠1+∠3=∠DEC=90°,∠2+∠3=∠FEB=90°,根据等角的余角相等得∠1=∠2,再根据正方形的性质得∠4+∠6=90°,而∠4+∠5=90°,
则∠5=∠6,根据相似三角形的判定即可得到结论;
(2)根据正方形的性质得AD=DC=BC,而点P为DA的中点,则PD=
1
2
AD=
1
2
DC,再根据正切的定义得到tan∠4=
PD
DC
=
1
2
,tan∠4=
DE
EC
,则
DF
CB
=
DE
EC
=
1
2
,然后根据
△DEF∽△CEB得到
DF
CB
=
DE
EC
,易得
DF
DC
=
1
2
,即可得到结论.
解答:证明:(1)∵DE⊥CP,EF⊥BE,
∴∠1+∠3=∠DEC=90°,∠2+∠3=∠FEB=90°,
∴∠1=∠2,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠4+∠6=∠DCB=90°,
而在Rt△DEC中,∠4+∠5=90°,
∴∠5=∠6,
∴△DEF∽△CEB;
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC=BC,
∵点P为DA的中点,
∴PD=
1
2
AD=
1
2
DC,
在Rt△PDC中,tan∠4=
PD
DC
=
1
2

在Rt△DEC中,tan∠4=
DE
EC

DE
EC
=
PD
DC
=
1
2

∵△DEF∽△CEB,
DF
CB
=
DE
EC

而CB=DC,
DF
DC
=
1
2

∴点F为DC的中点.
点评:本题考查了相似三角形的判定与性质:有两组对应角分别相等的两三角形相似;相似三角形对应边的比相等.也考查了正方形的性质以及锐角三角函数的定义.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

19、如图:正方形ABCD,M是线段BC上一点,且不与B、C重合,AE⊥DM于E,CF⊥DM于F.求证:AE2+CF2=AD2

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,正方形ABCD中,E点在BC上,AE平分∠BAC.若BE=
2
cm,则△AEC面积为
 
cm2

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.下列结论:①△ABG≌△AFG;②BG=GC;③AG∥CF;④S△FGC=3.其中正确结论的个数是(  )
A、1B、2C、3D、4

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

17、如图,正方形ABCD的边长为4,将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A处,该三角板的两条直角边与CD交于点F,与CB延长线交于点E,四边形AECF的面积是
16

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接BE、DG.
(1)若ED:DC=1:2,EF=12,试求DG的长.
(2)观察猜想BE与DG之间的关系,并证明你的结论.

查看答案和解析>>

同步练习册答案