Question

14．如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC上一定点，BE=6，F为AB上一动点，把△BEF沿EF折叠，点B落在点B'处，当△AFB'恰好为直角三角形，B'D的长为$\frac{4}{5}\sqrt{65}$或2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 分两种情况进行讨论：当∠AB'F=90°时，△AFB'为直角三角形；当∠AFB'=90°时，△AFB'为直角三角形，分别根据直角三角形的勾股定理进行计算求解，即可得到B'D的长．

解答 解：分两种情况：
①如图所示，当∠AB'F=90°时，△AFB'为直角三角形，
根据∠AB'F=90°=∠FB'E，可得点A，B'，E在同一直线上，
∵BE=6，AB=8，
∴Rt△ABE中，AE=10，
又∵B'E=BE=6，
∴AB'=10-6=4，
设BF=B'F=x，则AF=8-x，
Rt△AB'F中，AB'²+FB'²=AF²，即4²+x²=（8-x）²，
解得x=3，
∴B'F=3，AF=5，
过B'作B'G⊥AB于G，作B'H⊥AD于H，则
$\frac{1}{2}$×AF×GB'=$\frac{1}{2}$×AB'×FB'，
即GB'=$\frac{AB'×FB'}{AF}$=$\frac{12}{5}$，
∴AH=$\frac{12}{5}$，DH=8-$\frac{12}{5}$=$\frac{28}{5}$，
在Rt△AB'F中，AB'²=AG×AF，
∴AG=$\frac{16}{5}$，即B'H=$\frac{16}{5}$，
∴Rt△B'DH中，B'D=$\sqrt{B'{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{16}{5}）^{2}+（\frac{28}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}\sqrt{65}$；
②当∠AFB'=90°时，△AFB'为直角三角形，
此时，∠BFB'=90°=∠FB'E=∠B，而BF=B'F，
∴四边形BEB'F是正方形，
∴BF=BE=6=FB'，AF=8-6=2，
如图所示，过B'作B'H⊥AD于H，则HB'=AF=2，AH=FB'=6，DH=8-6=2，
∴等腰Rt△DHB'中，B'D=$\sqrt{D{H}^{2}+B'{H}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
综上所述，B'D的长为$\frac{4}{5}\sqrt{65}$或2$\sqrt{2}$．
故答案为：$\frac{4}{5}\sqrt{65}$或2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的性质以及折叠的性质的综合应用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是作辅助线构造矩形和直角三角形，依据勾股定理列方程求解．