Question

15．已知正方形ABCD的边长为8，点E为BC的中点，连接AE，并延长交射线DC于点F，将△ABE沿着直线AE翻折，点B落在B′处，延长AB′，交直线CD于点M．
（1）判断△AMF的形状并证明；
（2）将正方形变为矩形ABCD，且AB=6，BC=8，若B′恰好落在对角线AC上时，得到图2，此时CF=10，$\frac{BE}{CE}$=$\frac{3}{5}$；
（3）在（2）的条件下，点E在BC边上．设BE为x，△ABE沿直线AE翻折后与矩形ABCD重合的面积为y，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）结论：△AMF是等腰三角形．只要证明∠MAF=∠F即可．
（2）利用（1）中结论CF=AC，用勾股定理求出AC即可，由$\frac{BE}{EC}$=$\frac{BE′}{EC}$=sin∠ACB=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，即可解决问题．
（3）分两种情形讨论①如图3中，当0＜x≤6时，△ABE翻折后都在矩形内部，所以重合部分面积就是三角形面积．②如图4中，当6＜x≤8时，设EB交AD于M，分别求解即可．

解答 解：（1）结论：△AMF是等腰三角形．理由如下：
如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DF，
∴∠BAE=∠F，
由翻折可知∠BAE=∠MAE，
∴∠F=∠MAE，
∴MA=MF，
∴△AMF是等腰三角形．

（2）如图2中，

由（1）可知△ACF是等腰三角形，AC=CF，
在Rt△ABC中，∵AB=6，BC=8，
∴AC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴CF=AC=10，
∵BE=BE′，
∴$\frac{BE}{EC}$=$\frac{BE′}{EC}$=sin∠ACB=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
故答案为10，$\frac{3}{5}$．

（3）①如图3中，当0＜x≤6时，△ABE翻折后都在矩形内部，所以重合部分面积就是三角形面积，

∴y=$\frac{1}{2}$•6•x=3x，
∴y=3x．
②如图4中，当6＜x≤8时，设EB交AD于M，

∴重叠部分的面积=△ABE的面积减去△AB′M的面积，
设B′M=a，则EM=x-a，AM=x-a，
在Rt△AB′M中，由勾股定理可得6²+a²=（x-a）²，
∴a=$\frac{{x}^{2}-36}{2x}$，
∴y=3x-$\frac{1}{2}$×6×$\frac{{x}^{2}-36}{2x}$=$\frac{3}{2}$x+$\frac{54}{x}$．
综上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{3x}&{（0＜x≤6）}\\{\frac{3}{2}x+\frac{54}{x}}&{（6＜x≤8）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查相似三角形综合题、翻折变换、矩形的性质、正方形的性质、锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．