Question

【题目】已知抛物线l：y=（x﹣h）2﹣4（h为常数）

（1）如图1，当抛物线l恰好经过点P（1，﹣4）时，l与x轴从左到右的交点为A、B，与y轴交于点C．

①求l的解析式，并写出l的对称轴及顶点坐标．

②在l上是否存在点D，使S△ABD=S△ABC ， 若存在，请求出D点坐标，若不存在，请说明理由．

③点M是l上任意一点，过点M做ME垂直y轴于点E，交直线BC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点M的坐标．

（2）设l与双曲线y=有个交点横坐标为x0，且满足3≤x0≤5，通过l位置随h变化的过程，直接写出h的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为（1，﹣4）；②（1+，3）或（1﹣，3）；③（﹣+1，﹣）或（+1，﹣）；（2）当2≤h≤5﹣或4≤h≤5+时.

【解析】（1）①将P（1，-4）代入得到关于h的方程，从而可求得h的值，可得到抛物线的解析式，然后依据抛物线的解析式可直接得到抛物线的对称轴和顶点坐标；

②先求得OC的长，然后由三角形的面积公式可得到点D的纵坐标为3或-3，最后将y的值代入求得对应的x的值即可；

③先证明四边形OEDF为矩形，则DO=EF，由垂线的性质可知当OD⊥BC时，OD有最小值，即EF有最小值，然后由中点坐标公式可求得点D的坐标，然后可的点M的纵坐标，由函数的关系式可求得点M的横坐标；

（2）抛物线y=（x-h）2-4的顶点在直线y=-4上，然后求得当x=3和x=5时，双曲线对应的函数值，得到点A和点B的坐标，然后分别求得当抛物线经过点A和点B时对应的h的值，然后画出平移后的图象，最后依据图象可得到答案．

（1）①将P（1，﹣4）代入得：（1﹣h）2﹣4=﹣4，解得h=1，

∴抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为（1，﹣4）；

②将x=0代入得：y=﹣3，

∴点C的坐标为（0，﹣3），

∴OC=3，

∵S△ABD=S△ABC，

∴点D的纵坐标为3或﹣3，

当y=﹣3时，（x﹣1）2﹣4=﹣3，解得x=2或x=0，

∴点D的坐标为（0，﹣3）或（2，﹣3），

当y=3时，（x﹣1）2﹣4=3，解得：x=1+或x=1﹣，

∴点D的坐标为（1+ ，3）或（1﹣ ，3），

综上所述，点D的坐标为（0，﹣3）或（2，﹣3）或（1+ ，3）或（1﹣ ，3）时，S△ABD=S△ABC ；

③如图1所示：

∵∠EOF=∠OED=∠OFD=90°，

∴四边形OEDF为矩形，

∴DO=EF，

依据垂线段的性质可知：当OD⊥BC时，OD有最小值，即EF有最小值，

把y=0代入抛物线的解析式得：（x﹣1）2﹣4=0，解得x=﹣1或x=3，

∴B（3，0），

∴OB=OC，

又∵OD⊥BC，

∴CD=BD，

∴点D的坐标（，﹣），

将y=﹣代入得：（x﹣1）2﹣4=﹣，解得x=﹣+1或x= +1．

∴点M的坐标为（﹣+1，﹣）或（ +1，﹣）

（2）∵y=（x﹣h）2﹣4，

∴抛物线的顶点在直线y=﹣4上，

理由：对双曲线，当3≤x0≤5时，﹣3≤y0≤﹣，

即L与双曲线在A（3，﹣3），B（5，﹣）之间的一段有个交点，

当抛物线经过点A时，（3﹣h）2﹣4=﹣3，解得h=2或h=4，

当抛物线经过点B时，（5﹣h）2﹣4=﹣，解得：h=5+或h=5﹣ ，

随h的逐渐增加，l的位置随向右平移，如图所示，

由函数图象可知：当2≤h≤5﹣或4≤h≤5+时，抛物线与双曲线在3≤x0≤5段有个交点.