Question

在四边形ABCD中，AB=CD，P、Q分别是AD、BC的中点，M、N分别是对角线AC、BD的中点，证明：PQ⊥MN．

Answer 1

分析：作辅助线连接PN、QN、QM、PM，显然PN平行且等于

1

2

AB，MQ平行且等于

1

2

AB，PM平行且等于

1

2

DC，NQ平行且等于

1

2

DC，因为AB=CD，所以PN=NQ=QM=PM，容易证明四边形PNQM是菱形，即可得出结论．

解答：证明：如图，连接PN、QN、QM、PM，
显然PN平行且等于

1

2

AB，MQ平行且等于

1

2

AB，
PM平行且等于

1

2

DC，NQ平行且等于

1

2

DC，
∵AB=CD，
∴PN=NQ=QM=PM，
∴四边形PNQM是菱形，
∴PQ⊥MN．

点评：本题考查了菱形的判定和性质，难度较大，关键根据题意巧妙地作出辅助线．