Question

如图，点P、Q是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，下列结论错误的是（ ）

A．BP=CM
B．△ABQ≌△CAP
C．∠CMQ的度数不变，始终等于60°
D．当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形

Answer 1

【答案】分析：A、等边三角形ABC中，AB=BC，而AP=PQ，所以BP=CQ．
B、根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
C、由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠CMQ=60°；
D、设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此两种情况即可得出结论．
解答：解：A、在等边△ABC中，AB=BC．
∵点P、Q的速度都为1cm/s，
∴AP=PQ，
∴BP=CQ．
只有当CM=CQ时，BP=CM．
故本选项错误；

B、∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）．
故本选项正确；

C、点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．
故本选项正确；

D、设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，
当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，即4-t=2t，t=，
当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=，
∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．
故本选项正确．
故选A．
点评：此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键．