Question

18．如图，等腰三角形△ABC的腰长AB=AC=25，BC=40，动点P从B出发沿BC向C运动，速度为10单位/秒．动点Q从C出发沿CA向A运动，速度为5单位/秒，当一个点到达终点的时候两个点同时停止运动，点P′是点P关于直线AC的对称点，连接P′P和P′Q，设运动时间为t秒．
（1）若当t的值为m时，PP′恰好经过点A，求m的值．
（2）设△P′PQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式（m＜t≤4）
（3）是否存在某一时刻t，使PQ平分角∠P′BC？存在，求相应的t值，不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作AM⊥BC于M．当PP′恰好经过点A，构建cos∠C=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{CM}{AC}$，列出方程即可解决问题；
（2）如图2中，设PP′交AC于N．由△PCN∽△ACM，可得PC=40-10t，PN=P′N=24-6t，CN=32-8t，根据三角形面积公式计算即可解决问题；
（3）存在．如图3中，作QE⊥BC于E．由PQ平分∠CPP′，QE⊥PC，QN⊥PP′，可得QN=QE，由sin∠C=$\frac{QE}{QC}$=$\frac{AM}{AC}$，列出方程即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，作AM⊥BC于M．

∵AB=AC=25，AM⊥BC，
∴BM=MC=20，
在Rt△ABM中，AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}-2{0}^{2}}$=15，
当PP′恰好经过点A，∵cos∠C=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{CM}{AC}$，
∴$\frac{25}{40-10t}$=$\frac{20}{25}$，
∴t=$\frac{7}{8}$．
∴m=$\frac{7}{8}$s．

（2）如图2中，设PP′交AC于N．

当$\frac{7}{8}$＜t≤4时，由△PCN∽△ACM，可得PC=40-10t，PN=P′N=24-6t，CN=32-8t，
∵CQ=5t，
∴NQ=CN-CQ=32-13t，
∴y=$\frac{1}{2}$•PP′•NQ=$\frac{1}{2}$（48-12t）•（32-13t）=78t²-504t+768（$\frac{7}{8}$＜t≤4）．

（3）存在．理由如下：
如图3中，作QE⊥BC于E．

∵PQ平分∠CPP′，QE⊥PC，QN⊥PP′，
∴QN=QE，
∵sin∠C=$\frac{QE}{QC}$=$\frac{AM}{AC}$，
∴$\frac{32-13t}{5t}$=$\frac{15}{25}$，
∴t=2，
∴t=2时，PQ平分角∠P′BC．

点评 本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．