Question

已知关于x的二次方程ax²+bx+c=0没有实数根，一位老师改动了方程的二次项系数后，得到的新方程有两个根为12和4；另一位老师改动原来方程的某一个系数的符号，所得到的新方程的两个根为-2和6，那么=________．

Answer 1

8
分析：首先根据一位老师改动了方程的二次项系数后，得到的新方程有两个根为12和4，求作一个符合条件的一元二次方程，即x²-16x+48=0，进而表示原方程是ax²-16kx+48k=0；再根据另一位老师改动原来方程的某一个系数的符号，所得到的新方程的两个根为-2和6，求作一个符合条件的一元二次方程，即x²-4x-12=0，此方程两边同乘以4k，得4kx²-16kx-48k=0，从而得到a=4k，最后即可求解．
解答：利用新方程有两个根为12和4构造1个一元二次方程为：x²-（12+4）x+12×4=0 即x²-16x+48=0，与ax²+bx+c=0对应．于是得到：b=-16k，c=48k．（其中k是不为0的整数．）
从而原方程为：ax²-16kx+48k=0．同样再由另一个新方程的两个根-2和6，构造一个方程：
x²-（-2+6）x+（-2）×6=0，
即x²-4x-12=0．
此方程两边同乘以4k，得 4kx²-16kx-48k=0，
它与ax²-16kx+48k=0对应，得 a=4k，从而原方程就是：4kx²-16kx+48k=0，所以==8．
故答案为8．
点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，能够根据已知的两根求作一个一元二次方程．