Question

有一个定理：若x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c 为系数且为常数）的两个根，则x₁+x₂=-

b

a

、x1•x₂=

c

a

，这个定理叫做韦达定理．如：x₁、x₂是方程x²+2x-1=0的两个根，则x₁+x₂=-2、x₁•x₂=-1．
若x₁、x₂是方程2x²+mx-2m+1=0的两个根．试求：
（1）x₁+x₂与x₁•x₂的值（用含有m的代数式表示）．
（2）x₁²+x₂²的值（用含有m的代数式表示）．
（3）若（x₁-x₂）²=2，试求m的值．

Answer 1

分析：（1）根据根与系数的关系x₁+x₂=-

b

a

、x₁•x₂=

c

a

，得出即可；
（2）化成含有x₁+x₂和x₁•x₂的形式，代入求出即可；
（3）化成含有x₁+x₂和x₁•x₂的形式，代入求出，再代入由根的判别式得出的不等式，看看是否满足不等式，即可得出答案．

解答：（1）解：∵x₁、x₂是方程2x²+mx-2m+1=0的两个根，
∴x₁+x₂=-

m

2

，x₁•x₂=

-2m+1

2

；

（2）解：∵x₁、x₂是方程2x²+mx-2m+1=0的两个根，
∴x₁+x₂=-

m

2

，x₁•x₂=

-2m+1

2

，
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x₁•x₂
=(-

m

2

)2-2×

-2m+1

2

=

1

4

m²+2m-1；

（3）解：∵x₁、x₂是方程2x²+mx-2m+1=0的两个根，
∴x₁+x₂=-

m

2

，x₁•x₂=

-2m+1

2

；
∵（x₁-x₂）²=2，
∴(x1+x2)2-4x₁•x₂=2，
∴(-

m

2

)2-4×

-2m+1

2

=2，
解得：m=-8+4

5

，m=-8-4

5

，
∵b²-4ac=m²-4×2×（-2m+1）≥0，
m²+16m-8≥0，
把m=-8+4

5

，m=-8-4

5

，代入上式不等式都成立，
即m的值是-8+4

5

或-8-4

5

．

点评：本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，难度适中．