Question

如图1，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°
（1）如图2，若点C、A、D在同一条直线上，且点E在AB上，连接CE、BD，试判断CE与BD有什么样的关系，并说明理由．
（2）将△ADE绕点A旋转到如图3所示的位置，同样连接CE、BD，（1）中的结论还成立吗？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形两直角边相等和直角相等，可以证明△ACE和△ABD全等，再根据全等三角形对应边相等得到CE=BD，全等三角形对应角相等得到∠ACE=∠ABD，又∠AEC=∠BEM，所以∠BME=∠CAE=90°，所以CE⊥BD．
（2）结论和证明思路与（1）相同．

解答：解：（1）CE=BD，CE⊥BD．
证明如下：在图2中，延长CE交BD于点M，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∠BAC=∠DAE=90°，
∴AC=AB，AE=AD，
在△ACE和△ABD中，

AC=AB ∠BAC=∠DAE=90° AE=AD

∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，
又∠AEC=∠BEM，
而∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠BEM=90°，
∴∠CMB=90°，
∴CE⊥BD；

（2）（1）中的结论CE=BD，CE⊥BD成立，
延长BD交CE于点M．
证明过程与（1）相同．

点评：本题考查了三角形全等的判定和全等三角形的性质及等腰三角形的性质；作出辅助线结合图形弄清楚解题思路是求解的关键．