Question

△ABC中，AD是高，AD与AB的夹角为锐角α，Rt△ADC的面积和周长都为30，又x₁、x₂是关于x的方程8x²-4x-2cosα+1=0的两个实数根，且，求：
（1）cosa的值．
（2）AD和AC的长（“三角函数的值”的有关“代数式”作为方程的系数）

Answer 1

解：（1）因为方程有两个实数根，所以判别式为非负数．
△=16-4×8（-2cosα+1）≥0，
得到：cosα≥．
∵0＜cosα＜1，
∴≤cosα＜1．
根据根与系数的关系有：
x₁+x₂=，x₁x₂=
32（x₁³x₂²+x₁²x₂³）=
32（x₁x₂）²（x₁+x₂）=
32××=
整理得：-2cosα+1=±
∴cosα=，cosα=-（舍去）；

（2）根据直角三角形的周长和面积都是30以及勾股定理，得到：
AD+DC=30-AC ①
AD•DC=60 ②
AD²+DC²=AC²=（AD+DC）²-2AD•DC
∴AC²=（30-AC）²-120
解得：AC=13．
∴有①②有：
AD+DC=17
AD•DC=60
解得：AD=5，DC=12，或AD=12，DC=5
故AC的长为13，AD的长为5或12．
分析：（1）根据一元二次方程根的判别式以及余弦的定义，得到cosα的范围，然后利用根与系数的关系求出cosα的值．
（2）在直角三角形中根据周长和面积都是30，可以列出两个方程，然后利用勾股定理计算能求出AD和AC的值．
点评：本题考查的是三角函数的定义，（1）根据三角函数的定义一元二次方程根的判别式得到cosα的取值范围，然后利用根与系数的关系求出cosα的值．（2）根据直角三角形的周长和面积，运用勾股定理可以求出直角三角形的斜边和直角边．