Question

如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点，
（1）求证：四边形MENF是菱形；
（2）如果将已知中的“四边形ABCD是等腰梯形”改为“四边形ABCD是平行四边形”，其余条件不变，那么四边形MENF还是菱形吗？答：

 

．（填“是”或“否”）

Answer 1

分析：（1）M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点，因为题中涉及中点，可利用中位线定理进行求解．
（2）等腰梯形有一个对角线互相垂直的性质，而平行四边形则不具备，而菱形的对角线也是互相垂直的，所以条件改变后，四边形不再是菱形．

解答：解：（1）证明：由三角形中位线定理可得EN∥CM且EN=

1

2

CM，FN∥BM且FN=

1

2

BM，
所以四边形MENF是平行四边形，
再由SAS可得△ABM≌△DCM，所以BM=CM，
所以EN=FN，
所以四边形MENF是菱形；

（2）否．当四边形ABCD是平行四边形时，同样由（1）可得，四边形MENF是平行四边形，
因为菱形的对角线互相垂直，等腰梯形可满足菱形这一性质，而平行四边形的对角线不存在这一性质，
所以条件改变后，四边形MENF的对角线不垂直，
四边形MENF不再是菱形．

点评：熟练掌握菱形的性质及判定定理，掌握等腰梯形的性质．