Question

【题目】如图,已知抛物线y=ax+bx+c经过A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三点,其顶点为D,对称轴是直线l,l与x轴交于点H

(1)求该抛物线的解析式;

(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点,求△PBC周长的最小值;

(3)如图(2),若B是线段AD上的一个动点(E与A.D不重合),过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m,△ADF的面积为S.

①求S与m的函数关系式

②S是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点E的坐标;若不存在,请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=-x-2x+3;（2）3+

（3）①②（-2,2）

【解析】

(1)根据函数图象经过的三点,用待定系数法确定二次函数的解析式即可;

(2)根据BC是定值,得到当PB+PC最小时,△PBC的周长最小,根据点的坐标求得相应线段的长即可;

(3)设点E的横坐标为m,表示出E(m,2m+6),F(m,-m-2m+3),最后表示出EF的长,从而表示

出S于m的函数关系,然后求二次函数的最值即可解答

(1)由题意可知

解得:

∴抛物线的解析式为:y=-x-2x+3;

（2）∵△PBC的周长为:PB+PC+BC

∵BC是定值,

∴当PB+PC最小时,△PBC的周长最小

∵点A点B关于对称轴对称,

∴连接AC交1于点P,即点P为所求的点

.∵AP= BP

∴△PBC的周长最小是:

PB+PC+BC=AC+BC

∵A(-3,0),B(1,0),C(0,3),

∴AC=3 BC=

故△PBC周长的最小值为3+

（3）①:抛物线y=-x-2x+3;顶点D的坐标为(-1,4)

∵A(-3,0)

∴直线AD的解析式为y=2x+6

∵点E的横坐标为m

∴E(m,2m+6),F(m,-m-2m+3

∴EF=-m-2m+3-(2m+6)=-m-4m-3

∴S= S△DEF+S△AEF=

②

∴当m=-2时，S最大，最大值为1

此时点E的坐标为（-2,2）