Question

19．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．若AB=5，BD=3，则$\frac{DF}{AF}$=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由∠BAC=90°，AD⊥BC，得到∠BAD=∠C，根据直角三角形的性质得到DE=CE，求出∠EDC=∠C，根据对顶角相等得到∠BAD=∠BDF推出△ADF∽△DBF，得到$\frac{DF}{AF}=\frac{BD}{AD}$，即可得到结论．

解答 解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵E为AC的中点，
∴DE=CE，
∴∠EDC=∠C，
∵∠EDC=∠BDF，
∴∠BAD=∠BDF，
∵∠F=∠F，
∴△ADF∽△DBF，
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{BD}{AD}$，
∵AB=5，BD=3，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4，
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{BD}{AD}$=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．