Question

已知边长为10的菱形ABCD，对角线BD=16，过线段BD上的一个动点P（不与B、D重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．
（1）如图1，求证：△PBE∽△PDF；
（2）连接PC，当PE+PF+PC取最小值时，求PB的长；
（3）如图2，对角线BD、AC交于点O，以PO为半径（PO＞0）的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时，求PB的长．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的性质对角线互相垂直、四条边相等来证明△PBE∽△PDF；
（2）作辅助线：连接AC交BD于点O．则AC⊥BD，延长FP交BC于点M．则FM⊥BC．根据角平分线的性质求得PM=PE；然后根据菱形对角线相互平分知，BD=2BO，从而求得BO=8，在直角三角形AOB中利用边角勾股定理求得AC的长度；最后由菱形的面积求得FM的长度，所以要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值．所以当CP⊥BD，即点P与点O重合时，PE+PF+PC的值最小；
（3）分类讨论：①当⊙P与⊙D外切时：情况一：（如图2）当P点在点O的左侧，PO=OB-PB=8-x，此时PO+DF=PD；情况二：（如图3），当P点在点O的右侧，PO=PB-OB=x-8，此时PO+DF=PD；②当⊙P与⊙D内切时：PO=PB-OB=x-8．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB，∠BEP=∠DFP，
∴△PBE∽△PDF；

（2）如图1，连接AC交BD于点O．则AC⊥BD，延长FP交BC于点M，则FM⊥BC．
∵PM=PE，
∴PE+PF=PF+PM=FM
在直角三角形AOB中，BO=

1

2

BD=8，
∴AO=

AB2-BO2

=

102-82

=6；
∴AC=2AO=12；
又∵S_菱形ABCD=

1

2

AC•BD=BC•FM，
∴

1

2

×12×16=10•FM，即FM=

48

5

；
因此，要使PE+PF+PC取最小值，只要PC取最小值．所以当CP⊥BD，即点P与点O重合时，PE+PF+PC的值最小．
此时PB=BO=

1

2

BD=8；

（3）设PB=x，则PD=BD-PB=16-x．
∵PF⊥AD，
∴在Rt△PFD中，DF=DP•cos∠ADB=

4

5

（16-x）；
①当⊙P与⊙D外切时：
情况一：（如图2）当P点在点O的左侧，PO=OB-PB=8-x，此时PO+DF=PD，
∴（8-x）+

4

5

（16-x）=16-x，
解得，x=6，即PB=6；
情况二：（如图3），当P点在点O的右侧，PO=PB-OB=x-8，
此时PO+DF=PD，
∴（x-8）+

4

5

（16-x）=16-x，
解得，x=

28

3

，即PB=

28

3

；
②（如图4）当⊙P与⊙D内切时：
PO=PB-OB=x-8，
∵PD＞DF，
∴PO-DF=PD，
∴（x-8）-

4

5

（16-x）=16-x，
解得，x=

92

7

，即PB=

92

7

；
综上所述，以PO（PO＞0）为半径的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时，PB的长为6、或

28

3

或

92

7

．

点评：本题综合考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用及两相切圆的性质．解答此题时，注意要分类讨论，以防漏解．比如解答（3）题时，两圆相切可以分为外切和内切两种情况，所以在解答时必须做到全面的考虑．