Question

11．阅读材料：小聪在学习二次根式后，发现含根号的式子3+2$\sqrt{2}$可以写成另一个式子$\sqrt{2}$+1的平方，即3+2$\sqrt{2}$=（$\sqrt{2}$+1）²．
于是，爱动脑筋的小聪又提出了一个问题：7+4$\sqrt{3}$是否也能写成另一个式子的平方呢？经过探索，他联想到老师讲的方程思想，找到了一种把7+4$\sqrt{3}$化成平方式的方法：
设7+4$\sqrt{3}$=（$\sqrt{m}$+$\sqrt{n}$）²（m≥n＞0），则7+4$\sqrt{3}$=m+n+2$\sqrt{mn}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=7}\\{2\sqrt{mn}=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
整理得 $\left\{\begin{array}{l}{m+n=7}\\{mn=12}\end{array}\right.$．
∴m、n可看作一元二次方程x²-7x+12=0的两根．
解方程，得 x₁=4，x₂=3．
于是有$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=3}\end{array}\right.$．
∴7+4$\sqrt{3}$=（$\sqrt{4}$+$\sqrt{3}$）²=（2+$\sqrt{3}$）²
参考上述方法，解决下列问题：
（1）化简下列根式并把答案直接填在答题卡上相应横线上：
$\sqrt{8+4\sqrt{3}}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，$\sqrt{7-\sqrt{40}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$，$\sqrt{9-4\sqrt{5}}$-$\sqrt{6+2\sqrt{5}}$=-3；
（2）化简：①$\sqrt{4-\sqrt{15}}$，②$\sqrt{7-\sqrt{21+\sqrt{80}}}$；
（3）化简$\sqrt{4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$+$\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$．

Answer 1

分析 （1）类比题中方法列方程组、构建一元二次方程分别求解可得；
（2）借助完全平方公式进而开平方求出即可；
（3）把要求的代数式设为x，然后利用完全平方公式进行计算，用直接开平方法可以求出x的值，根据二次根式的性质得到x≥0，确定x的值．也就求出了代数式的值．

解答 解：（1）设8+4$\sqrt{3}$=（$\sqrt{m}$+$\sqrt{n}$）²（m≥n＞0），则8+4$\sqrt{3}$=m+n+2$\sqrt{mn}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=8}\\{2\sqrt{mn}=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$
整理得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=8}\\{mn=12}\end{array}\right.$，
∴m、n可看作一元二次方程x²-8x+12=0的两根．
解方程，得 x₁=2，x₂=6．
于是有$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=6}\end{array}\right.$
∴8+4$\sqrt{3}$=（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）²，
即$\sqrt{8+4\sqrt{3}}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$；
设7-$\sqrt{40}$=（$\sqrt{m}$-$\sqrt{n}$）²（m≥n＞0），则7-$\sqrt{40}$=m+n-2$\sqrt{mn}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=7}\\{2\sqrt{mn}=\sqrt{40}}\end{array}\right.$，
整理得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=7}\\{mn=10}\end{array}\right.$，
∴m、n可看作一元二次方程x²-7x+10=0的两根．
解方程，得 x₁=2，x₂=5，
于是有$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=5}\end{array}\right.$，
∴7-$\sqrt{40}$=（$\sqrt{2}$-$\sqrt{5}$）²，
即$\sqrt{7-\sqrt{40}}$=$\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$，
$\sqrt{9-4\sqrt{5}}$-$\sqrt{6+2\sqrt{5}}$=|2-$\sqrt{5}$|-||$\sqrt{5}$+1|=$\sqrt{5}$-2-$\sqrt{5}$-1=-3；
故答案为：$\sqrt{2}+\sqrt{6}$，$\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$，-3；

（2）①$\sqrt{4-\sqrt{15}}$=$\sqrt{\frac{16-4\sqrt{15}}{4}}$=$\frac{\sqrt{（\sqrt{10}-\sqrt{6}）^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$；
②$\sqrt{7-\sqrt{21+\sqrt{80}}}$=$\sqrt{7-（\sqrt{20}+1）}$=|$\sqrt{5}$-1|=$\sqrt{5}$-1；

（3）设原式=x，
则x²=（4-$\sqrt{10+2\sqrt{5}}$）+（4+$\sqrt{10+2\sqrt{5}}$）+2$\sqrt{（4-\sqrt{10+2\sqrt{5}}）（4+\sqrt{10-2\sqrt{5}}）}$，
=8+2$\sqrt{6-2\sqrt{5}}$，
=8+2$\sqrt{（\sqrt{5}-1）^{2}}$，
=8+2（$\sqrt{5}$-1），
=6+2$\sqrt{5}$，
=（$\sqrt{5}$+1）²．
根据二次根式的性质x≥0，
∴x=$\sqrt{5}$+1．
∴原式=$\sqrt{5}$+1．

点评 本题考查的是二次根式的化简求值，弄懂题意，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式、解方程组、一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．