Question

10．如图，在△ABC中，∠C=90°，O在AB上，⊙O过点A，切BC于点D，交AC于点E，问AC、AB满足什么数量关系时E为AC的中点？

Answer 1

分析 作OH⊥AE于H，如图，根据垂径定理得AH=HE，设AH=HE=a，当E为AC的中点，则CE=2a，再根据切线的性质得OD⊥BC，则OD∥AC，易得四边形ODCH为矩形，所以OD=CH=3a，然后根据平行线分线段成比例定理，由OH∥BC得到$\frac{AO}{AB}$=$\frac{AH}{AC}$，可计算得AB=12a，所以AB=3AC．

解答 解：作OH⊥AE于H，如图，则AH=HE，设AH=HE=a，
当E为AC的中点，则CE=2a，
∵BC为⊙O的切线，
∴OD⊥BC，
∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴四边形ODCH为矩形，
∴OD=CH=3a，
∵OH∥BC，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{AH}{AC}$，即$\frac{3a}{AB}$=$\frac{a}{4a}$，
∴AB=12a，
而AC=4a，
∴AB=3AC，
即AB=3AC时，时E为AC的中点．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理和平行线分线段长比例定理．