Question

如图，E为矩形ABCD的边CD上的一点（CE＞DE），AE⊥BE．以AE为直径作⊙O，交AB于F．点G为BE的中点，连接FG．
（1）求证：FG为⊙O的切线；
（2）若CD=25，AD=12，求FG的长．

Answer 1

分析：（1）要证明FG是⊙O的切线只要证明∠OFG=90°即可；
（2）设DE=x，则EC=25-x，由已知可求得△ADE∽△ECB，根据相似三角形的对应边成比例可求得DE的长，从而可求得CE的长；再根据勾股定理求得EB的长，么FG的长就不难求了．

解答：解：（1）连接OF、EF、OG；
∵AE是⊙O的直径，AF⊥EF，
∴∠AFE=90°=∠EFB=∠AEB，
又∵G是BE的中点，
∴EG=

1

2

BE=FG；
∵OE=OF，OG=OG，
∴△OEG≌△OFG（SSS），
∴∠OFG=∠OEG=90°，
∴OF⊥FG，
∴FG为⊙O的切线．

（2）设DE=x，则EC=25-x；
∵四边形ABCD是矩形，AD=12，
∴∠D=∠C=90°，BC=AD=12，
∴∠CEB+∠CBE=90°；
由（1）知，∠AEB=90°，
∴∠DEA+∠CEB=90°，
∴∠DEA=∠CBE，
∴△ADE∽△ECB，
∴

AD

EC

=

DE

BC

，
∴

12

25-x

=

x

12

，
解得，x₁=9，x₂=16；
当x=9时，25-x=16，即DE=9，EC=16；
当x=16时，25-x=9，即DE=16，EC=9；
∵CE＞DE，
∴不合题意舍去；
在Rt△ECB中，
∵EB²=EC²+BC²，
∴EB=

162+122

=20，
由（1）知得，FG=

1

2

EB=10．

点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．本题还要会熟练运用三角形的相似比作为相等关系列方程求解．