Question

13．如图，抛物线y=ax²+bx+c交x轴于A（-1，0）、B两点，交y轴于点C（0，5），且过点D（1，8），M为其顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△MCB的面积？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、C、D三点在抛物线上，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点M作MN∥y轴交BC轴于点N，则△MCB的面积=△MCN的面积+△MNB的面积=$\frac{1}{2}$MN•OB；
（3）先由△PAB的面积等于△MCB的面积，求出AB边上的高即点P的纵坐标的绝对值，再将点P的纵坐标代入抛物线的解析式，得到一元二次方程，如果方程有实数根，则在抛物线上存在点P，否则不存在．

解答 解：（1）∵A（-1，0），C（0，5），D（1，8）三点在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b+c}\\{5=c}\\{8=a+b+c}\end{array}\right.$，
解方程组，得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\\{c=5}\end{array}\right.$，
故抛物线的解析式为y=-x²+4x+5；

（2）过点M作MN∥y轴交BC轴于点N，则△MCB的面积=△MCN的面积+△MNB的面积=$\frac{1}{2}$MN•OB．
∵y=-x²+4x+5=-（x-5）（x+1）=-（x-2）²+9，
∴M（2，9），B（5，0），
由B、C两点的坐标易求得直线BC的解析式为：y=-x+5，
当x=2时，y=-2+5=3，则N（2，3），
则MN=9-3=6，
则S_△MCB=$\frac{1}{2}$×6×5=15；

（3）在抛物线上存在点P，使△PAB的面积等于△MCB的面积．理由如下：
∵A（-1，0），B（5，0），
∴AB=6，
∵△PAB的面积=△MCB的面积，
∴$\frac{1}{2}$×6×|y_P|=15，
∴|y_P|=5，y_P=±5．
当y_P=5时，-x²+4x+5=5，解得x₁=0，x₂=4；
当y_P=-5时，-x²+4x+5=-5，解得x₃=2+$\sqrt{14}$，x₄=2-$\sqrt{14}$．
故在抛物线上存在点P₁（0，5），P₂（4，5），P₃（2+$\sqrt{14}$，-5），P₃（2-$\sqrt{14}$，-5），使△PAB的面积等于△MCB的面积．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，确定特殊点的坐标，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键．