已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A（4，0）、E（-2，0）两点，连结AB，过点A作直线AK⊥AB，动点P从A点出发以每秒$\sqrt{5}$个单位长度的速度沿射线AK运动，设运动时间为t秒，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP对折，使点C落在点D处．分析 （1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先根据点D在△APB内部，求出t的范围，然后用△APB减去△APC面积求出不重叠的部分面积；
（3）根据两点间的距离公式表示出BP，根据条件建立方程，求出时间；
（4）先判断出点D到点O的距离最小时的位置，然后用三角函数和勾股定理计算．
解答 解：（1）将A，B，E三点代入抛物线解析式中，得
$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+c=0}\\{4a-2b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$
∴y=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{1}{2}$x+2，
（2）∵A（4，0），B（0，2）
∴直线AB解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵AB⊥AK，
∴直线AK解析式为y=2x+8，
∴tan∠PAC=$\frac{PC}{AC}$=2，
∵AP=$\sqrt{5}$t，
∴AC=t，PC=2t，
∵D在△ABP内部，
∴∠APB＞∠APC，
∴tan∠APB＞tan∠APC，
∴$\frac{AB}{AP}＞\frac{AC}{PC}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}t}=\frac{t}{2t}$，
∴t＜4，
∴0＜t＜4，
∴S=S△APB-S△APD
=S△APB-S△APC
=$\frac{1}{2}$×AB×AP-$\frac{1}{2}$×AC×PC
=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$t-$\frac{1}{2}$×t×2t
=-t2+5t（0＜t＜4）
（3）∵P（t+4，2t），
∴BP=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{20+5{t}^{2}}$，
∵线段AC的长是线段BP长的$\frac{1}{3}$，
∴t=$\frac{1}{3}$$\sqrt{20+5{t}^{2}}$，
∴t=-$\sqrt{5}$（舍）t=$\sqrt{5}$
（4）要使点D到O的距离最小，则有点D在OP上，此时记作D1
在Rt△OCP中，tan∠POC=$\frac{PC}{OC}$=$\frac{2t}{t+4}$，
在Rt△OCP中，tan∠AOC=$\frac{A{D}_{1}}{O{D}_{1}}=\frac{t}{O{D}_{1}}$，
∴$\frac{2t}{t+4}=\frac{t}{O{D}_{1}}$，
∴OD1=$\frac{t+4}{2}$，
根据勾股定理得，OD12+AD12=OA2，
∴（$\frac{t+4}{2}$）2+t2=16，
∴t=-4（舍）t=$\frac{12}{5}$，
∴OD1=$\frac{t+4}{2}$=$\frac{16}{5}$，
∴动点D到点O的距离最小距离为$\frac{16}{5}$．
点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函数，勾股定理，面积的计算，解本题的关键是确定出时间的范围．
智趣寒假作业云南科技出版社系列答案科目：初中数学 来源： 题型：选择题
| A． | a-2=-$\frac{1}{{a}^{2}}$（a≠0） | B． | $\sqrt{（-2）^{2}}$=-2 | C． | a0=0（a≠0） | D． | $\root{3}{（-2）^{3}}$=-2 |
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科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图，直线l1与直线l2互相垂直，A，B是两个定点．C，D分别是直线l1，l2上的动点．试确定C，D两点的位置，使四边形ACDB的周长最短．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：选择题
| A． | a8÷a4=a2 | B． | a3•a4=a12 | C． | $\sqrt{4}$=±2 | D． | 2x3•x2=2x5 |
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科目：初中数学 来源： 题型：选择题
如图，在?ABCD中，AC与BD交于点O，E为AB上一点，且AE=2EB，连接CE交BD于点F，则S△BEF与S△COF的比值为（ ）| A． | 1：3 | B． | 1：2 | C． | 2：3 | D． | 3：4 |
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已知正方形ABCD如图所示，M、N在直线BC上，MB=NC，试分别在图1、图2中仅用无刻度的直尺画出一个不同的等腰三角形OMN．