Question

【题目】如图,在直角坐标系中,点A在x轴上,且A(4,0),点B在y轴上，且B(0,4).

(1)求线段AB的长；

(2)若点E在线段AB上,OE⊥OF,且OE=OF,求AE+AF的值；

(3)在（2）的条件下，过O作OM⊥EF,交AB于M,试确定线段BE、EM、AM之间的数量关系?并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）AB=4；

（2）AE+AF=4；

（3）结论：FM2=AM2+AF2，理由见解析.

【解析】

（1）根据AB=即可解决；

（2）先证明△BOE≌△AOF得AF=BE，所以AE+AF=AE+BE=AB即可解决；

（3）结论：FM2=AM2+AF2．只要证明ME=MF，AF=BE，在RT△AMF中利用勾股定理即可证明．

（1）在Rt△ABO中，∵AO=OB=4，

∴AB===4；

（2）∵∠BOA=∠EOF=90°，

∴∠BOE=∠AOF，

在△BOE和△AOF中，

，

∴△BOE≌△AOF，

∴AF=BE，

∴AE+AF=AE+EB=AB=4；

（3）结论：FM2=AM2+AF2，理由如下：

连接FM，

∵OE=OF，OM⊥EF，

∴OM垂直平分分EF，

∴ME=MF，

∵OA=OB，∠AOB=90°，

∴∠OBA=∠OAB=45°，

由（1）可知△BOE≌△AOF，

∴BE=AF，∠OBE=∠OAF=45°，

∴∠MAF=∠OAF+∠OAB=90°，

∴FM2=AM2+AF2，

∴EM2=BE2+AM2．