Question

2．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD=4cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长线恰好经过点D，则CD的长为2$\sqrt{3}$cm．

Answer 1

分析 如图，首先证明AG为线段DH的垂直平分线；进而证明AD=AH=4，∠DAG=∠HAG=∠HAB=α，求出α；运用直角三角形的边角关系求出AB，即可解决问题．

解答 解：如图，∵点E，F分别是CD和AB的中点，
且四边形ABCD为矩形，
∴EG∥CH，而DE=CE，
∴DG=GH；由题意得：∠AGH=∠B=90°，
∴AG为线段DH的垂直平分线，
∴AD=AH=4，∠DAG=∠HAG（设为α）；
而∠BAH=∠GAH=α，
∴3α=90°，α=30°，
∴cos30°=$\frac{AB}{AH}$，AB=2$\sqrt{3}$（cm），
∴CD=AB=2$\sqrt{3}$cm，
故答案为2$\sqrt{3}$cm．

点评 该题主要考查了矩形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质等几何知识点及其应用问题；牢固掌握矩形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质等几何知识点是基础，灵活运用是关键．