Question

如图，△ACB和△ECD中，AC=BC，CE=CD，BC⊥AD，A、C、D三点在同一直线上，连接BD、AE，并延长交BD于F．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）直线AF与BD有怎样的位置关系？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）由△ACE≌△BCD推出∠EAC=∠DBC，根据三角形的内角和定理求出∠EAC+∠AEC=90°，求出∠DBC+∠BEF=90°，根据三角形的内角和定理求出∠BFE=90°，根据垂直定义推出即可．

解答：（1）证明：如图，∵BC⊥AD，
∴∠ACE=∠BCD=90°，
∴在△ACE和△BCD中，

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；

（2）解：直线AF与BD垂直．理由如下：
∵由（1）知，△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠DBC，
∵∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠AEC=90°，
∵∠AEC=∠BEF，
∴∠DBC+∠BEF=90°，
∴∠BFE=180°-90°=90°，
∴AF⊥BD．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，对顶角相等，垂直定义等知识点的综合运用，关键是推出∠BFE=90°，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等．