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    （2013•漳州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=2，0C=6，在OC上取点D将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在直线与直线DE，BC分别交于点M，N．
    （1）填空：D点坐标是（
    2
    2
    ，
    0
    0
    ），E点坐标是（
    2
    2
    ，
    2
    2
    ）；
    （2）如图1，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样的点M，使△CMN为等腰三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）如图2，当点P在线段AB上移动时，设P点坐标为（x，2），记△DBN的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式，并求出S随x增大而减小时所对应的自变量x的取值范围．
    分析：（1）根据△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，得到∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，求出OD=2，得出D点的坐标，再根据DE=OD=2，求出E点的坐标；
    （2）由翻折可知四边形AODE为正方形，过M作MH⊥BC于H，先求出∠NMH=∠MNH=45°，得出NH=MH=4，MN=4
    		2
    ，再根据直线OE的解析式为：y=x，依题意得MN∥OE，设MN的解析式为y=x+b，根据DE的解析式为x=2，BC的解析式为x=6，得出M（2，2+b），N（6，6+b），CM=
    		42+(2+b)2
    ，CN=6+b，MN=4
    		2
    ，①当CM=CN时，42+（2+b）2=（6+b）2，解得：b=-2，此时M（2，0）；②当CM=MN时，42+（2+b）2=（4
    		2
    ）2，解得：b1=2，b1=-6（不合题意舍去），此时M（2，4）；③当CM=MN时，6+b=4
    		2
    ，解得：b=4
    		2
    -6，此时M（2，4
    		2
    -4）；
    （3）根据题意先证出△PBN∽△DEP，得出BN的值，求出S与x之间的函数关系式，根据①当0≤x≤2时，S=x2-8x+12=（x-4）2-4，②当2＜x≤6时，S=-x2+8x-12=-（x-4）2+4，即可得出答案．
    解答：解：（1）∵将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，
    ∴∠OAD=∠EAD=45°，DE=OD，
    ∴OA=OD，
    ∵OA=2，
    ∴OD=2，
    ∴D点坐标是（2，0），DE=OD=2，
    ∴E点坐标是（2，2），
    故答案为：（2，0），（2，2）；

    （2）存在点M使△CMN为等腰三角形，理由如下：
    由翻折可知四边形AODE为正方形，
    过M作MH⊥BC于H，
    ∵∠PDM=∠PMD=45°，则∠NMH=∠MNH=45°，
    NH=MH=4，MN=4
    		2
    ，
    ∵直线OE的解析式为：y=x，依题意得MN∥OE，
    ∴设MN的解析式为y=x+b，
    而DE的解析式为x=2，BC的解析式为x=6，
    ∴M（2，2+b），N（6，6+b），
    CM=
    		42+(2+b)2
    ，CN=6+b，MN=4
    		2
    ，
    分三种情况讨论：
    ①当CM=CN时，
    42+（2+b）2=（6+b）2，
    解得：b=-2，此时M（2，0）；
    ②当CM=MN时，
    42+（2+b）2=（4
    		2
    ）2，
    解得：b1=2，b2=-6（不合题意舍去），
    此时M（2，4）；
    ③当CN=MN时，
    6+b=4
    		2
    ，
    解得：b=4
    		2
    -6，此时M（2，4
    		2
    -4）；
    综上所述，存在点M使△CMN为等腰三角形，M点的坐标为：
    （2，0），（2，4），（2，4
    		2
    -4）；

    （3）根据题意得：
    当0≤x≤2时，
    ∵∠BPN+∠DPE=90°，
    ∠BPN+∠BNP=90°，
    ∴∠DPE=∠BNP，
    又∠PED=∠NBP=90°，
    ∴△DEP∽△PBN，
    ∴
    PB
    DE
    =
    BN
    EP
    ，
    ∴
    6-x
    2
    =
    BN
    2-x
    ，
    ∴BN=
    (2-x)(6-x)
    2
    ，
    ∴S△DBN=
    1
    2
    •BN•BE
    =
    1
    2
    •
    (2-x)(6-x)
    2
    •4
    整理得：S=x2-8x+12；
    当2＜x≤6时，
    ∵△PBN∽△DEP，
    ∴
    PB
    NB
    =
    DE
    PB
    ，
    ∴
    x-2
    NB
    =
    2
    6-x
    ，
    ∴BN=
    (x-2)(6-x)
    2
    ，
    ∴S△DBN=
    1
    2
    •BN•BE，
    =
    1
    2
    •
    (x-2)(6-x)
    2
    ×4，
    整理得：S=-x2+8x-12；
    则S与x之间的函数关系式：
    S=x2-8x+12(0≤x≤2)
    S=-x2+8x-12(2＜x≤6)
    ，
    ①当0≤x≤2时，S=x2-8x+12=（x-4）2-4，
    当x≤4时，S随x的增大而减小，即0≤x≤2，
    ②当2＜x≤6时，S=-x2+8x-12=-（x-4）2+4，
    当x≥4时，S随x的增大而减小，即4≤x≤6，
    综上所述：S随x增大而减小时，0≤x≤2或4≤x≤6．
    点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是勾股定理、一次函数、二次函数的图象与性质、轴对称等，关键是综合运用有关知识求出点的坐标，是一道综合题．
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    13
    4
    13
    4
    厘米．

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