Question

19．（1）求一元二次方程x²-2x-1=0的解；
（2）已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．
①求该抛物线的解析式；
②求该抛物线的顶点坐标．

Answer 1

分析 （1）首先进行移项，然后方程两边同时加上1即可变形成左边是完全平方式，右边是常数的形式，利用配方法即可求解．
（2）由抛物线与x轴的交点是A（-2，0），B（1，0），且经过点C（2，8），设解析式为一般式或交点式用待定系数法求得二次函数的解析式；

解答 解：（1）∵x²-2x-1=0
∴x²-2x=1，
∴（x-1）²=2
∴x₁=1+$\sqrt{2}$，x₂=1-$\sqrt{2}$．

（2）①设这个抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
由已知，抛物线过A（-2，0），B（1，0），C（2，8）三点，
得 $\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{4a+2b+c=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\\{c=-4}\end{array}\right.$．
∴所求抛物线的解析式为y=2x²+2x-4，
②∵2x²+2x-4=2（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{2}$，
∴抛物线的顶点坐标为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{9}{2}$）．

点评 本题考查了配方法解一元二次方程和待定系数法求二次函数的解析式；在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．