【题目】如图,已知点E,F分别是ABCD的边BC,AD上的中点,且∠BAC=90°,若∠B=30°,BC=10,则四边形AECF的面积为__.
【答案】 .
【解析】
由条件可先证得四边形AECF为菱形,连接EF交AC于点O,解直角三角形求出AC、AB,由三角形中位线定理求出OE,得出EF,菱形AECF的面积=ACEF,即可得出结果.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点E是BC边的中点,
∴AE=BC=CE,
同理,AF=AD=CF,
∴AE=CE=AF=CF,
∴四边形AECF是菱形,
连接EF交AC于点O,如图所示:
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,BC=10,
∴AC=BC=5,AB=AC=5,
∵四边形AECF是菱形,
∴AC⊥EF,OA=OC,
∴OE是△ABC的中位线,
∴OE=AB=,
∴EF=5,
∴S菱形AECF=ACEF=×5×5=,
故答案为:.
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【题目】如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,取格点A、B、C并连接AB,BC.取格点D、E并连接,交AB于点F.
(Ⅰ)BF的长等于_____;
(Ⅱ)若点G在线段BC上,且满足AF+CG=FG,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,确定点G的位置,并简要说明点G的位置是如何找到的________________________________________(不要求证明).
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【题目】目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利,初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查,随机调查了m人(每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种)并将调查结果绘制成如下不完整的统计图.
(1)根据图中信息求出m= ,n= ;
(2)请你帮助他们将这两个统计图补全;
(3)根据抽样调查的结果,请估算全校2000名学生中,大约有多少人最认可“微信”这一新生事物?
(4)已知A、B两位同学都最认可“微信”,C同学最认可“支付宝”D同学最认可“网购”从这四名同学中抽取两名同学,请你通过树状图或表格,求出这两位同学最认可的新生事物不一样的概率.
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【题目】如图,在菱形四边形ABCD中,,,对角线AC、BD交于点O,点P为直线BD上的动点不与点B重合,连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段PE,连接CE、BE.
问题发现
如图1,当点E在直线BD上时,线段BP与CE的数量关系为______;______
拓展探究
如图2,当点P在线段BO延长线上时,的结论是否成立?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由;
问题解决
当时,请直接写出线段AP的长度.
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【题目】如图,四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与(x>0,0<m<n)的图象上,对角线BD//y轴,且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.
(1)当m=4,n=20时.
①若点P的纵坐标为2,求直线AB的函数表达式.
②若点P是BD的中点,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
(2)四边形ABCD能否成为正方形?若能,求此时m,n之间的数量关系;若不能,试说明理由.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作⊙O,交AB于D,过点O作OE∥AB,交BC于E.
(1)求证:ED为⊙O的切线;
(2)如果⊙O的半径为,ED=2,延长EO交⊙O于F,连接DF、AF,求△ADF的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)首先连接OD,由OE∥AB,根据平行线与等腰三角形的性质,易证得≌ 即可得,则可证得为的切线;
(2)连接CD,根据直径所对的圆周角是直角,即可得 利用勾股定理即可求得的长,又由OE∥AB,证得根据相似三角形的对应边成比例,即可求得的长,然后利用三角函数的知识,求得与的长,然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案.
试题解析:(1)证明:连接OD,
∵OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
∴△COE≌△DOE(SAS),
∴ED⊥OD,
∴ED是的切线;
(2)连接CD,交OE于M,
在Rt△ODE中,
∵OD=32,DE=2,
∵OE∥AB,
∴△COE∽△CAB,
∴AB=5,
∵AC是直径,
∵EF∥AB,
∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF
∴△ADF的面积为
【题型】解答题
【结束】
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【题目】【题目】已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.
(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);
(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;
(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.
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【题目】如图①,直线L:y=mx+n(m<0,n>0)与x,y轴分别相交于A,B两点,将△AOB绕点O逆时针旋转90°,得到△COD,过点A,B,D的抛物线P叫做L的关联抛物线,而L叫做P的关联直线.
(1)若L:y=-x+2,则P表示的函数解析式为______;若P:,则表示的函数解析式为_______.
(2)如图②,若L:y=-3x+3,P的对称轴与CD相交于点E,点F在L上,点Q在P的对称轴上.当以点C,E,Q,F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时,求点Q的坐标;
(3)如图③,若L:y=mx+1,G为AB中点,H为CD中点,连接GH,M为GH中点,连接OM.若OM=,求出L,P表示的函数解析式.
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【题目】如图,菱形ABCD的边长为2cm,∠DAB=60°.点P从A点出发,以cm/s的速度,沿AC向C作匀速运动;与此同时,点Q也从A点出发,以1cm/s的速度,沿射线AB作匀速运动.当P运动到C点时,P、Q都停止运动,设点P运动的时间为t(s).
(1)对角线AC的长是 cm;
(2)当P异于A、C时,请说明PQ∥BC;
(3)以P为圆心、PQ长为半径作圆,请问:在整个运动过程中,t为怎样的值时,⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点?
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