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    在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=
    1
    2
    ．点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点．

    （1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设CF=kEF，则k=
     
    ；
    （2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2．求证：BE-DE=2CF；
    （3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的取值范围．
    考点：相似形综合题
    专题：
    分析：（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得CF=
    1
    2
    BD    ，EF=
    1
    2
    BD    ，CF=EF，于是得k=1；
    （2）过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．得
    BC
    AC
    =
    DE
    AE
    =
    1
    2
    ，△BCG∽△ACE．所以
    BC
    AC
    =
    GB
    AE
    =
    1
    2
    ，GB=DE．在Rt△ECG中，CF=
    1
    2
    EG    ，BE-DE=EG=2CF；
    （3）情况1：当AD=
    1
    3
    AC    时，取AB的中点M，连结MF和CM，最大为2+3
    		5
    ，最小值为3
    		5
    -2．情况2：当AD=
    2
    3
    AC    时，取AB的中点M，连结MF和CM，最大值为4+3
    		5
    ，最小值为为 3
    		5
    -4．再综合情况1与情况2即可．
    解答：解：（1）∵DE⊥AB于E，F为BD中点．
    ∴CF=
    1
    2
    BD    ，EF=
    1
    2
    BD    ，
    ∴CF=EF．
    ∵CF=kEF，
    ∴k=1；      
    （2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．
    由题意，tan∠BAC=
    1
    2
    ，

    ∴
    BC
    AC
    =
    DE
    AE
    =
    1
    2
    ．
    ∵D、E、B三点共线，
    ∴AE⊥DB．
    ∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°，
    ∴∠QBC=∠EAQ．
    ∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
    ∴∠ECA=∠BCG．
    ∴△BCG∽△ACE．
    ∴
    BC
    AC
    =
    GB
    AE
    =
    1
    2
    ．
    ∴GB=DE．
    ∵F是BD中点，
    ∴F是EG中点．
    在Rt△ECG中，CF=
    1
    2
    EG    ，
    ∴BE-DE=EG=2CF；
    （3）情况1：如图，当AD=
    1
    3
    AC    时，取AB的中点M，连结MF和CM，
    ∵∠ACB=90°，tan∠BAC=
    1
    2
    ，且BC=6，

    ∴AC=12，AB=6
    		5
    ．
    ∵M为AB中点，∴CM=3
    		5
    ，
    ∵AD=
    1
    3
    AC    ，
    ∴AD=4．
    ∵M为AB中点，F为BD中点，
    ∴FM=
    1
    2
    AD    =2．
    ∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=2+3
    		5
    ．
    同理最小值为3
    		5
    -2．
    情况2：如图，当AD=
    2
    3
    AC    时，取AB的中点M，连结MF和CM，

    类似于情况1，可知CF的最大值为4+3
    		5
    ．
    综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的
    三等分点时，线段CF的长度取得最大值为4+3
    		5
    ．
    同理最小值为 3
    		5
    -4．
    点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质．综合性较强，有一定难度，注意第（3）题分情况讨论．
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    （1）（3
    		12
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    1
    3
    +
    		48
    ）÷2
    		3
    ；
    （2）先化简，再求(
    x+2
    x2-2x
    -
    x-1
    x2-4x+4
    )÷
    x-4
    x
    值，其中x=
    1
    		2
    -1
    ．

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    先化简，再求值：
    x
    x+2
    ÷
    x2-x
    x2+4x+4
    -
    x
    x-1
    ，其中x=
    		3
    +2    ．

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    -
    x+1
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    1
    x+3
    -
    2
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    1
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    1
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    		2
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    		3
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